Номер 41.11, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.11. Упростите выражение:

1) $\frac{3x^2}{5y^3} : \frac{9x^3}{2y^2} \cdot \frac{5y}{3(x - 1)};$

2) $\frac{5a(b - 1)}{3^2d} : \frac{5cd^2}{9ab} : \frac{a^2(b - 1)}{c^3d};$

3) $\frac{7p^4}{10q^3} \cdot \frac{5q^2(p + 1)}{14p^2} : \frac{3p}{4q^4};$

4) $\frac{8x^2y^3}{7ab^2} : \frac{14xy^2}{7a^2b} : \frac{2x^2(y + 2)}{ab}.$

1) Для упрощения выражения $\frac{3x^2}{5y^3} : \frac{9x^3}{2y^2} \cdot \frac{5y}{3(x-1)}$ выполним действия по порядку. Сначала деление, затем умножение. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь.

$\frac{3x^2}{5y^3} : \frac{9x^3}{2y^2} \cdot \frac{5y}{3(x-1)} = \frac{3x^2}{5y^3} \cdot \frac{2y^2}{9x^3} \cdot \frac{5y}{3(x-1)} = \frac{3x^2 \cdot 2y^2 \cdot 5y}{5y^3 \cdot 9x^3 \cdot 3(x-1)}$

Сгруппируем и сократим множители в числителе и знаменателе:

$\frac{(3 \cdot 2 \cdot 5) \cdot x^2 \cdot (y^2 \cdot y)}{(5 \cdot 9 \cdot 3) \cdot x^3 \cdot y^3 \cdot (x-1)} = \frac{30 x^2 y^3}{135 x^3 y^3 (x-1)}$

Сокращаем числовой коэффициент: $\frac{30}{135} = \frac{2 \cdot 15}{9 \cdot 15} = \frac{2}{9}$.

Сокращаем переменные: $\frac{x^2}{x^3} = \frac{1}{x}$ и $\frac{y^3}{y^3} = 1$.

Собираем все вместе:

$\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1 \cdot \frac{1}{x-1} = \frac{2}{9x(x-1)}$

Ответ: $\frac{2}{9x(x-1)}$

2) Упростим выражение $\frac{5a(b-1)}{3^2d} : \frac{5cd^2}{9ab} : \frac{a^2(b-1)}{c^3d}$. Сначала заметим, что $3^2=9$. Выполним деления последовательно слева направо, заменяя их умножением на обратные дроби.

$\frac{5a(b-1)}{9d} : \frac{5cd^2}{9ab} : \frac{a^2(b-1)}{c^3d} = \frac{5a(b-1)}{9d} \cdot \frac{9ab}{5cd^2} \cdot \frac{c^3d}{a^2(b-1)}$

Запишем все множители в одну дробь:

$\frac{5a(b-1) \cdot 9ab \cdot c^3d}{9d \cdot 5cd^2 \cdot a^2(b-1)} = \frac{(5 \cdot 9) \cdot (a \cdot a) \cdot b \cdot c^3 \cdot d \cdot (b-1)}{(5 \cdot 9) \cdot a^2 \cdot c \cdot (d \cdot d^2) \cdot (b-1)} = \frac{45a^2bc^3d(b-1)}{45a^2cd^3(b-1)}$

Сокращаем общие множители: $45$, $a^2$ и $(b-1)$ (при условии $b \neq 1$).

$\frac{bc^3d}{cd^3}$

Сокращаем степени переменных: $\frac{c^3}{c} = c^{3-1} = c^2$ и $\frac{d}{d^3} = d^{1-3} = d^{-2} = \frac{1}{d^2}$.

В результате получаем:

$b \cdot c^2 \cdot \frac{1}{d^2} = \frac{bc^2}{d^2}$

Ответ: $\frac{bc^2}{d^2}$

3) Упростим выражение $\frac{7p^4}{10q^3} \cdot \frac{5q^2(p+1)}{14p^2} : \frac{3p}{4q^4}$. Выполним действия по порядку: сначала умножение, потом деление.

$\frac{7p^4}{10q^3} \cdot \frac{5q^2(p+1)}{14p^2} : \frac{3p}{4q^4} = (\frac{7p^4}{10q^3} \cdot \frac{5q^2(p+1)}{14p^2}) \cdot \frac{4q^4}{3p}$

Объединим все в одну дробь:

$\frac{7p^4 \cdot 5q^2(p+1) \cdot 4q^4}{10q^3 \cdot 14p^2 \cdot 3p} = \frac{(7 \cdot 5 \cdot 4) \cdot p^4 \cdot (q^2 \cdot q^4) \cdot (p+1)}{(10 \cdot 14 \cdot 3) \cdot (p^2 \cdot p) \cdot q^3} = \frac{140 p^4 q^6 (p+1)}{420 p^3 q^3}$

Сокращаем числовой коэффициент: $\frac{140}{420} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}$.

Сокращаем степени переменных: $\frac{p^4}{p^3} = p^{4-3} = p$ и $\frac{q^6}{q^3} = q^{6-3} = q^3$.

Собираем результат:

$\frac{1}{3} \cdot p \cdot q^3 \cdot (p+1) = \frac{pq^3(p+1)}{3}$

Ответ: $\frac{pq^3(p+1)}{3}$

4) Упростим выражение $\frac{8x^2y^3}{7ab^2} : \frac{14xy^2}{7a^2b} : \frac{2x^2(y+2)}{ab}$. Выполняем деления последовательно слева направо.

$\frac{8x^2y^3}{7ab^2} : \frac{14xy^2}{7a^2b} : \frac{2x^2(y+2)}{ab} = \frac{8x^2y^3}{7ab^2} \cdot \frac{7a^2b}{14xy^2} \cdot \frac{ab}{2x^2(y+2)}$

Запишем все в виде одной дроби:

$\frac{8x^2y^3 \cdot 7a^2b \cdot ab}{7ab^2 \cdot 14xy^2 \cdot 2x^2(y+2)} = \frac{(8 \cdot 7) \cdot x^2 \cdot y^3 \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b)}{(7 \cdot 14 \cdot 2) \cdot a \cdot b^2 \cdot (x \cdot x^2) \cdot y^2 \cdot (y+2)} = \frac{56 a^3 b^2 x^2 y^3}{196 a b^2 x^3 y^2 (y+2)}$

Сокращаем числовой коэффициент: $\frac{56}{196} = \frac{56 \div 28}{196 \div 28} = \frac{2}{7}$.

Сокращаем степени переменных:

$\frac{a^3}{a} = a^2$

$\frac{b^2}{b^2} = 1$

$\frac{x^2}{x^3} = \frac{1}{x}$

$\frac{y^3}{y^2} = y$

Собираем все упрощенные части вместе:

$\frac{2 a^2 y}{7 x (y+2)}$

Ответ: $\frac{2a^2y}{7x(y+2)}$