Номер 41.18, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите значения выражений (41.5-41.6):

41.18. 1) $\left(\frac{a-1}{3a+(a-1)^2} - \frac{1-3a+a^2}{a^3-1} - \frac{1}{a-1}\right) : \frac{a^2+1}{1-a};$

2) $\left(\frac{1}{n+1} - \frac{3}{n^3+1} + \frac{3}{n^2-n+1}\right) \cdot \left(n - \frac{2n-1}{n+1}\right).$

1) Выполним действия по шагам. Сначала упростим выражение в скобках.

1. Преобразуем знаменатели дробей в скобках.

Знаменатель первой дроби: $3a + (a-1)^2 = 3a + (a^2 - 2a + 1) = a^2 + a + 1$.

Знаменатель второй дроби, используя формулу разности кубов: $a^3 - 1 = (a-1)(a^2+a+1)$.

Таким образом, выражение в скобках принимает вид:

$\frac{a-1}{a^2+a+1} - \frac{1-3a+a^2}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1}{a-1}$

2. Приведем все дроби к общему знаменателю $(a-1)(a^2+a+1)$.

$\frac{(a-1)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{a^2-3a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1 \cdot (a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$

3. Выполним вычитание дробей, работая с их числителями.

$\frac{(a-1)^2 - (a^2-3a+1) - (a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{(a^2-2a+1) - (a^2-3a+1) - (a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$

4. Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

$a^2 - 2a + 1 - a^2 + 3a - 1 - a^2 - a - 1 = (a^2-a^2-a^2) + (-2a+3a-a) + (1-1-1) = -a^2 - 1 = -(a^2+1)$

5. Результат выражения в скобках:

$\frac{-(a^2+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$

6. Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{-(a^2+1)}{(a-1)(a^2+a+1)} : \frac{a^2+1}{1-a} = \frac{-(a^2+1)}{(a-1)(a^2+a+1)} \cdot \frac{1-a}{a^2+1}$

7. Заметим, что $1-a = -(a-1)$. Подставим это в выражение и сократим общие множители.

$\frac{-(a^2+1)}{(a-1)(a^2+a+1)} \cdot \frac{-(a-1)}{a^2+1} = \frac{(-1) \cdot (a^2+1) \cdot (-1) \cdot (a-1)}{(a-1) \cdot (a^2+a+1) \cdot (a^2+1)} = \frac{1}{a^2+a+1}$

Ответ: $\frac{1}{a^2+a+1}$

2) Выполним действия по шагам, сначала упростив выражения в каждой из скобок.

1. Упростим первую скобку: $\frac{1}{n+1} - \frac{3}{n^3+1} + \frac{3}{n^2-n+1}$.

Используем формулу суммы кубов для второго знаменателя: $n^3+1 = (n+1)(n^2-n+1)$.

Общий знаменатель для дробей: $(n+1)(n^2-n+1)$.

$\frac{1 \cdot (n^2-n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)} - \frac{3}{(n+1)(n^2-n+1)} + \frac{3 \cdot (n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}$

2. Объединим дроби и упростим числитель.

$\frac{(n^2-n+1) - 3 + 3(n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)} = \frac{n^2-n+1-3+3n+3}{(n+1)(n^2-n+1)} = \frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n^2-n+1)}$

3. Заметим, что числитель является полным квадратом: $n^2+2n+1 = (n+1)^2$.

$\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n^2-n+1)} = \frac{n+1}{n^2-n+1}$

4. Упростим вторую скобку: $n - \frac{2n-1}{n+1}$.

Приведем к общему знаменателю $n+1$.

$\frac{n(n+1)}{n+1} - \frac{2n-1}{n+1} = \frac{n(n+1)-(2n-1)}{n+1} = \frac{n^2+n-2n+1}{n+1} = \frac{n^2-n+1}{n+1}$

5. Теперь перемножим упрощенные выражения из обеих скобок.

$\frac{n+1}{n^2-n+1} \cdot \frac{n^2-n+1}{n+1}$

6. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе.

$\frac{\cancel{n+1}}{\cancel{n^2-n+1}} \cdot \frac{\cancel{n^2-n+1}}{\cancel{n+1}} = 1$

Ответ: $1$