Номер 41.21, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.21. Найдите значения х и у из тождества:

1) $\frac{1}{a^2 + 2a - 8} = \frac{x}{a + 4} + \frac{y}{a - 2};$

2) $\frac{1}{a^2 - 5a + 6} = \frac{x}{a - 3} + \frac{y}{a - 2};$

3) $\frac{1}{a^2 - 2a - 8} = \frac{x}{a - 4} + \frac{y}{a + 2};$

4) $\frac{1}{2a^2 - 5a + 3} = \frac{x}{a - 1} + \frac{y}{2a - 3}.$

1) Чтобы найти значения $x$ и $y$, приведем дроби в правой части тождества $\frac{1}{a^2 + 2a - 8} = \frac{x}{a + 4} + \frac{y}{a - 2}$ к общему знаменателю.

Сначала разложим знаменатель левой части на множители. Решив квадратное уравнение $a^2 + 2a - 8 = 0$, находим его корни: $a_1 = -4$ и $a_2 = 2$.

Таким образом, $a^2 + 2a - 8 = (a+4)(a-2)$.

Теперь приведем правую часть к общему знаменателю $(a+4)(a-2)$:

$\frac{x}{a+4} + \frac{y}{a-2} = \frac{x(a-2)}{(a+4)(a-2)} + \frac{y(a+4)}{(a+4)(a-2)} = \frac{x(a-2) + y(a+4)}{(a+4)(a-2)}$.

Тождество принимает вид:

$\frac{1}{(a+4)(a-2)} = \frac{xa - 2x + ya + 4y}{(a+4)(a-2)}$.

Так как знаменатели дробей равны, для выполнения тождества должны быть равны и их числители:

$1 = xa - 2x + ya + 4y$.

Сгруппируем слагаемые с $a$ и свободные члены:

$1 = (x+y)a + (-2x+4y)$.

Это равенство должно быть верным для любого значения $a$. Это возможно только если коэффициенты при одинаковых степенях $a$ слева и справа равны. Слева коэффициент при $a$ равен 0, а свободный член равен 1. Составляем систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 0 \\ -2x + 4y = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x = -y$. Подставим это во второе уравнение:

$-2(-y) + 4y = 1$

$2y + 4y = 1$

$6y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{6}$.

Тогда $x = -y = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $x = -1/6, y = 1/6$.

2) Рассмотрим тождество $\frac{1}{a^2 - 5a + 6} = \frac{x}{a - 3} + \frac{y}{a - 2}$.

Разложим на множители знаменатель в левой части. Корни уравнения $a^2 - 5a + 6 = 0$ равны $a_1 = 2$ и $a_2 = 3$.

Следовательно, $a^2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3)$.

Приведем правую часть к общему знаменателю $(a-3)(a-2)$:

$\frac{x}{a-3} + \frac{y}{a-2} = \frac{x(a-2) + y(a-3)}{(a-3)(a-2)}$.

Приравниваем числители левой и правой частей:

$1 = x(a-2) + y(a-3)$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$1 = xa - 2x + ya - 3y = (x+y)a + (-2x-3y)$.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $a$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 0 \\ -2x - 3y = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения $x = -y$. Подставим во второе:

$-2(-y) - 3y = 1$

$2y - 3y = 1$

$-y = 1 \Rightarrow y = -1$.

Тогда $x = -y = -(-1) = 1$.

Ответ: $x = 1, y = -1$.

3) Рассмотрим тождество $\frac{1}{a^2 - 2a - 8} = \frac{x}{a - 4} + \frac{y}{a + 2}$.

Разложим на множители знаменатель $a^2 - 2a - 8$. Корни уравнения $a^2 - 2a - 8 = 0$ равны $a_1 = 4$ и $a_2 = -2$.

Таким образом, $a^2 - 2a - 8 = (a-4)(a+2)$.

Приведем правую часть к общему знаменателю $(a-4)(a+2)$:

$\frac{x}{a-4} + \frac{y}{a+2} = \frac{x(a+2) + y(a-4)}{(a-4)(a+2)}$.

Приравниваем числители:

$1 = x(a+2) + y(a-4)$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$1 = xa + 2x + ya - 4y = (x+y)a + (2x-4y)$.

Составляем систему уравнений, приравнивая коэффициенты:

$\begin{cases} x + y = 0 \\ 2x - 4y = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения $x = -y$. Подставим во второе:

$2(-y) - 4y = 1$

$-2y - 4y = 1$

$-6y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{6}$.

Тогда $x = -y = -(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6}$.

Ответ: $x = 1/6, y = -1/6$.

4) Рассмотрим тождество $\frac{1}{2a^2 - 5a + 3} = \frac{x}{a - 1} + \frac{y}{2a - 3}$.

Разложим на множители знаменатель $2a^2 - 5a + 3$. Корни уравнения $2a^2 - 5a + 3 = 0$ находим по формуле: $a = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4}$. Корни $a_1 = 1$ и $a_2 = \frac{3}{2}$.

Значит, $2a^2 - 5a + 3 = 2(a-1)(a-\frac{3}{2}) = (a-1)(2a-3)$.

Приведем правую часть к общему знаменателю $(a-1)(2a-3)$:

$\frac{x}{a-1} + \frac{y}{2a-3} = \frac{x(2a-3) + y(a-1)}{(a-1)(2a-3)}$.

Приравниваем числители:

$1 = x(2a-3) + y(a-1)$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$1 = 2xa - 3x + ya - y = (2x+y)a + (-3x-y)$.

Составляем систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + y = 0 \\ -3x - y = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения $y = -2x$. Подставим во второе:

$-3x - (-2x) = 1$

$-3x + 2x = 1$

$-x = 1 \Rightarrow x = -1$.

Тогда $y = -2x = -2(-1) = 2$.

Ответ: $x = -1, y = 2$.