Номер 41.17, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Выполните действия (41.17-41.18):

41.17.

1) $(a^2-1) \cdot \left( \frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + 1 \right);$

2) $\left( \frac{1}{y} + \frac{2}{x-y} \right) \cdot \left( x - \frac{x^2+y^2}{x+y} \right);$

3) $\left( x + 1 - \frac{1}{1-x} \right) : \left( x - \frac{x^2}{x-1} \right);$

4) $\left( a + b - \frac{2ab}{a+b} \right) : \left( \frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} \right).$

1) Выполним действия в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a-1)(a+1) = a^2-1$.

$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + 1 = \frac{1 \cdot (a+1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-1)(a+1)} + \frac{1 \cdot (a-1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{a+1 - (a-1) + (a^2-1)}{a^2-1}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a+1-a+1+a^2-1}{a^2-1} = \frac{a^2+1}{a^2-1}$

Теперь умножим полученное выражение на $(a^2-1)$:

$(a^2-1) \cdot \frac{a^2+1}{a^2-1} = a^2+1$

Ответ: $a^2+1$

2) Сначала упростим выражение в первой скобке, приведя дроби к общему знаменателю $y(x-y)$:

$\frac{1}{y} + \frac{2}{x-y} = \frac{1 \cdot (x-y)}{y(x-y)} + \frac{2 \cdot y}{y(x-y)} = \frac{x-y+2y}{y(x-y)} = \frac{x+y}{y(x-y)}$

Затем упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю $x+y$:

$x - \frac{x^2+y^2}{x+y} = \frac{x(x+y)}{x+y} - \frac{x^2+y^2}{x+y} = \frac{x^2+xy - (x^2+y^2)}{x+y} = \frac{x^2+xy-x^2-y^2}{x+y} = \frac{xy-y^2}{x+y} = \frac{y(x-y)}{x+y}$

Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:

$\frac{x+y}{y(x-y)} \cdot \frac{y(x-y)}{x+y} = 1$

Ответ: $1$

3) Упростим выражение в первой скобке. Заметим, что $-\frac{1}{1-x} = \frac{1}{-(1-x)} = \frac{1}{x-1}$.

$x + 1 - \frac{1}{1-x} = x + 1 + \frac{1}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} + \frac{1}{x-1} = \frac{x^2-1+1}{x-1} = \frac{x^2}{x-1}$

Упростим выражение во второй скобке:

$x - \frac{x^2}{x-1} = \frac{x(x-1)}{x-1} - \frac{x^2}{x-1} = \frac{x^2-x-x^2}{x-1} = \frac{-x}{x-1}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь:

$\frac{x^2}{x-1} : \frac{-x}{x-1} = \frac{x^2}{x-1} \cdot \frac{x-1}{-x} = \frac{x^2}{-x} = -x$

Ответ: $-x$

4) Упростим выражение в первой скобке (делимое), приведя к общему знаменателю $a+b$:

$a + b - \frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} - \frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - 2ab}{a+b} = \frac{a^2+2ab+b^2-2ab}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{a+b}$

Упростим выражение во второй скобке (делитель), приведя к общему знаменателю $a(a+b)$:

$\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} = \frac{a(a-b)}{a(a+b)} + \frac{b(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)}$

Теперь выполним деление полученных выражений:

$\frac{a^2+b^2}{a+b} : \frac{a^2+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a+b} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+b^2} = a$

Ответ: $a$