Номер 41.22, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.22. Если $a + c = 4$ и $ac = 2$, то найдите значение выражения: $\left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c}\right)^4 + \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{c^2}\right) \cdot \frac{1}{2ac}$

Для нахождения значения выражения $ \left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c}\right)^4 + \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{c^2}\right) \cdot \frac{1}{2ac} $ необходимо его упростить, используя данные $ a + c = 4 $ и $ ac = 2 $.

Вычислим по частям.

1. Преобразуем первую часть выражения $ \left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c}\right)^4 $.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ 2ac $:

$ \frac{1}{2a} + \frac{1}{2c} = \frac{c + a}{2ac} $.

Подставим известные значения $ a+c=4 $ и $ ac=2 $:

$ \frac{a+c}{2ac} = \frac{4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 $.

Следовательно, первая часть выражения равна:

$ (1)^4 = 1 $.

2. Преобразуем вторую часть выражения $ \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{c^2}\right) \cdot \frac{1}{2ac} $.

Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ a^2c^2 $:

$ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{c^2 + a^2}{a^2c^2} = \frac{a^2+c^2}{(ac)^2} $.

Чтобы найти $ a^2+c^2 $, воспользуемся формулой квадрата суммы: $ (a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2 $.

Выразим отсюда $ a^2+c^2 $: $ a^2+c^2 = (a+c)^2 - 2ac $.

Подставим известные значения $ a+c=4 $ и $ ac=2 $:

$ a^2+c^2 = 4^2 - 2 \cdot 2 = 16 - 4 = 12 $.

Теперь подставим это значение в выражение для суммы дробей:

$ \frac{a^2+c^2}{(ac)^2} = \frac{12}{2^2} = \frac{12}{4} = 3 $.

Теперь можем вычислить вторую часть исходного выражения:

$ 3 \cdot \frac{1}{2ac} = 3 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} $.

3. Сложим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$ 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4} $.

Ответ: $ \frac{7}{4} $