Номер 41.23, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.23. Решите уравнение:

1) $(\left( \frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b} \right) \cdot \left( \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a} \right) \cdot x = 1;)$

2) $(\frac{c}{a - c} - \frac{a^3 - ac^2}{a^2 + c^2} \cdot \left( \frac{a}{(a - c)^2} - \frac{c}{a^2 - c^2} \right) = 2x.)$

1) Решим уравнение $ \left( \frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b} \right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a} \cdot x = 1 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $ a^2 - b^2 \neq 0 $ и $ 2a + 2b \neq 0 $ и $ a+b \neq 0 $ и $ b-a \neq 0 $. Все они сводятся к $ a \neq b $ и $ a \neq -b $.

Сначала упростим выражение в больших скобках. Для этого разложим знаменатели на множители: $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ и $ 2a + 2b = 2(a+b) $.

$ \frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b} = \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} + \frac{a - b}{2(a+b)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ 2(a-b)(a+b) $: $ \frac{2 \cdot 2ab}{2(a-b)(a+b)} + \frac{(a - b)(a - b)}{2(a-b)(a+b)} = \frac{4ab + (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a-b)(a+b)} $

Числитель является полным квадратом: $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $.

$ \frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a+b}{2(a-b)} $

Теперь умножим полученный результат на $ \frac{2a}{a+b} $: $ \frac{a+b}{2(a-b)} \cdot \frac{2a}{a+b} = \frac{a}{a-b} $

Упростим слагаемое, содержащее $x$: $ \frac{b}{b-a} = -\frac{b}{a-b} $.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение: $ \frac{a}{a-b} - \frac{b}{a-b} \cdot x = 1 $

Выразим $x$: $ \frac{b}{a-b} \cdot x = \frac{a}{a-b} - 1 $

$ \frac{b}{a-b} \cdot x = \frac{a - (a-b)}{a-b} $

$ \frac{b}{a-b} \cdot x = \frac{b}{a-b} $

При условии, что $ b \neq 0 $ (и с учетом ОДЗ $ a \neq b $), мы можем разделить обе части уравнения на $ \frac{b}{a-b} $.

$ x = 1 $

(Если $ b=0 $, то уравнение превращается в тождество $1=1$, и $x$ может быть любым числом. В стандартной постановке задачи предполагается, что параметры не приводят к вырождению, поэтому мы принимаем $b \neq 0$).

Ответ: $x=1$

2) Решим уравнение $ \frac{c}{a - c} - \frac{a^3 - ac^2}{a^2 + c^2} \cdot \left( \frac{a}{(a-c)^2} - \frac{c}{a^2 - c^2} \right) = 2x $.

ОДЗ: $ a-c \neq 0 $, $ a^2-c^2 \neq 0 $, $ a^2+c^2 \neq 0 $. Это означает $ a \neq c $ и $ a \neq -c $ (при условии, что $a$ и $c$ - действительные числа, не равные нулю одновременно, $a^2+c^2$ всегда больше нуля).

Упростим выражение в скобках, используя формулу разности квадратов $ a^2 - c^2 = (a-c)(a+c) $: $ \frac{a}{(a-c)^2} - \frac{c}{(a-c)(a+c)} = \frac{a(a+c) - c(a-c)}{(a-c)^2(a+c)} = \frac{a^2+ac-ac+c^2}{(a-c)^2(a+c)} = \frac{a^2+c^2}{(a-c)^2(a+c)} $

Упростим множитель перед скобками: $ \frac{a^3 - ac^2}{a^2 + c^2} = \frac{a(a^2 - c^2)}{a^2 + c^2} = \frac{a(a-c)(a+c)}{a^2 + c^2} $

Теперь перемножим эти два упрощенных выражения: $ \frac{a(a-c)(a+c)}{a^2 + c^2} \cdot \frac{a^2+c^2}{(a-c)^2(a+c)} $

Сокращая общие множители $ (a^2+c^2) $, $ (a+c) $ и один $ (a-c) $, получаем: $ \frac{a}{a-c} $

Подставим это в исходное уравнение: $ \frac{c}{a-c} - \frac{a}{a-c} = 2x $

Упростим левую часть: $ \frac{c-a}{a-c} = \frac{-(a-c)}{a-c} = -1 $

Таким образом, уравнение принимает вид: $ -1 = 2x $

Отсюда находим $x$: $ x = -\frac{1}{2} $

Ответ: $x = -\frac{1}{2}$