Номер 4, страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. Найдите дробь, равную дроби $ \frac{3}{y - x} $:

A. $ \frac{6}{2x - y} $;

B. $ -\frac{6}{2x - 2y} $;

C. $ \frac{3}{x + y} $;

D. $ -\frac{3}{y - x} $.

Для того чтобы найти дробь, равную исходной дроби $\frac{3}{y-x}$, необходимо проверить каждый из предложенных вариантов, выполнив тождественные преобразования.

A. $\frac{6}{2x-y}$

Чтобы сравнить эту дробь с исходной, приведем исходную дробь $\frac{3}{y-x}$ к числителю 6. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на 2: $\frac{3 \cdot 2}{(y-x) \cdot 2} = \frac{6}{2y-2x}$. Сравним знаменатель полученной дроби $2y-2x$ со знаменателем дроби из варианта А, который равен $2x-y$. Эти выражения не являются тождественно равными (равенство $2y-2x = 2x-y$ выполняется только при $3y=4x$). Следовательно, дроби не равны.

Ответ: Дробь $\frac{6}{2x-y}$ не равна дроби $\frac{3}{y-x}$.

B. $-\frac{6}{2x-2y}$

Упростим выражение. Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки в знаменателе: $-\frac{6}{2x-2y} = -\frac{6}{2(x-y)}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $-\frac{3}{x-y}$. Теперь воспользуемся свойством $\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$ и внесем знак минус в знаменатель, поменяв знаки у каждого слагаемого в нем: $\frac{3}{-(x-y)} = \frac{3}{-x+y}$. Переставим слагаемые в знаменателе для удобства: $\frac{3}{y-x}$. Полученная дробь полностью совпадает с исходной.

Ответ: Дробь $-\frac{6}{2x-2y}$ равна дроби $\frac{3}{y-x}$.

C. $\frac{3}{x+y}$

Сравним данную дробь с исходной $\frac{3}{y-x}$. Так как у обеих дробей одинаковые числители (равны 3), то для равенства дробей необходимо, чтобы их знаменатели были равны: $x+y = y-x$. $x = -x$, что равносильно $2x=0$, то есть $x=0$. Равенство дробей выполняется только в частном случае при $x=0$, а не для всех допустимых значений переменных. Значит, дроби не равны тождественно.

Ответ: Дробь $\frac{3}{x+y}$ не равна дроби $\frac{3}{y-x}$.

D. $-\frac{3}{y-x}$

Эта дробь является противоположной по знаку для исходной дроби $\frac{3}{y-x}$. Равенство $A = -A$ выполняется только при $A=0$. Так как дробь $\frac{3}{y-x}$ не может быть равна нулю (ее числитель равен 3), то и равенство с противоположной ей дробью невозможно.

Ответ: Дробь $-\frac{3}{y-x}$ не равна дроби $\frac{3}{y-x}$.