Номер 10, страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10. Упростите выражение $ \frac{2y + 3}{x} \cdot \frac{3y^2}{4y^2 - 9} : \frac{y}{10xy - 15x} $

A. 15;

B. $15y$;

C. $ \frac{1}{15y} $;

D. $ \frac{x}{15y} $

Решение:

Дано выражение: $ \frac{2y + 3}{x} \cdot \frac{3y^2}{4y^2 - 9} : \frac{y}{10xy - 15x} $

Чтобы упростить это выражение, выполним действия по порядку. Сначала заменим деление на умножение на обратную (перевернутую) дробь: $ \frac{2y + 3}{x} \cdot \frac{3y^2}{4y^2 - 9} \cdot \frac{10xy - 15x}{y} $

Теперь разложим на множители числители и знаменатели, где это возможно, чтобы найти общие множители для сокращения.

Знаменатель второй дроби, $4y^2 - 9$, является разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $ 4y^2 - 9 = (2y)^2 - 3^2 = (2y - 3)(2y + 3) $

Числитель третьей дроби, $10xy - 15x$, имеет общий множитель $5x$, который можно вынести за скобки: $ 10xy - 15x = 5x(2y - 3) $

Подставим разложенные выражения обратно в нашу задачу: $ \frac{2y + 3}{x} \cdot \frac{3y^2}{(2y - 3)(2y + 3)} \cdot \frac{5x(2y - 3)}{y} $

Теперь объединим все в одну большую дробь и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $ \frac{(2y + 3) \cdot 3y^2 \cdot 5x(2y - 3)}{x \cdot (2y - 3)(2y + 3) \cdot y} $

Сокращаем:

• Множитель $(2y + 3)$ в числителе и знаменателе.
• Множитель $(2y - 3)$ в числителе и знаменателе.
• Множитель $x$ в числителе и знаменателе.
• Сокращаем $y^2$ в числителе и $y$ в знаменателе, остается $y$ в числителе.

После сокращения всех общих множителей у нас остаются: $ 3y \cdot 5 $

Перемножив оставшиеся части, получаем: $ 15y $

Ответ:15y.