Номер 12, страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12. Упростите выражение $\frac{8 - a^3}{16 - a^2} \cdot \frac{a + 4}{a^2 + 2a + 4}$ и найдите его значение при $a = -2$:

A. 0;

B. $\frac{2}{3}$;

C. 1;

D. -1.

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение, а затем подставим в него указанное значение переменной.

Исходное выражение: $ \frac{8 - a^3}{16 - a^2} \cdot \frac{a + 4}{a^2 + 2a + 4} $.

Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель $8 - a^3$ раскладывается по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$8 - a^3 = 2^3 - a^3 = (2 - a)(4 + 2a + a^2)$.

Знаменатель $16 - a^2$ раскладывается по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$16 - a^2 = 4^2 - a^2 = (4 - a)(4 + a)$.

Подставим разложенные на множители выражения обратно в исходное:

$ \frac{(2 - a)(a^2 + 2a + 4)}{(4 - a)(a + 4)} \cdot \frac{a + 4}{a^2 + 2a + 4} $

Сократим общие множители $(a^2 + 2a + 4)$ и $(a + 4)$ в числителе и знаменателе. Это возможно при условии, что они не равны нулю. При $a=-2$ множитель $a+4 = -2+4 = 2 \neq 0$, и множитель $a^2+2a+4 = (-2)^2+2(-2)+4 = 4-4+4=4 \neq 0$.

После сокращения получаем:

$ \frac{2 - a}{4 - a} $

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $a = -2$.

Подставим $a = -2$ в выражение $ \frac{2 - a}{4 - a} $:

$ \frac{2 - (-2)}{4 - (-2)} = \frac{2 + 2}{4 + 2} = \frac{4}{6} $

Сократим полученную дробь:

$ \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

Таким образом, значение выражения при $a = -2$ равно $ \frac{2}{3} $. Это соответствует варианту ответа B.

Ответ: $ \frac{2}{3} $