Номер 18, страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18. Известно, что $\frac{1}{x} + x = m$. Найдите выражение $\frac{1}{x^2} + x^2$:

A. $m^2$;

B. $2 + m^2$;

C. $m^2 - 2$;

D. $2 - m^2$.

Для решения этой задачи воспользуемся данным равенством $ \frac{1}{x} + x = m $. Нам необходимо найти выражение для $ \frac{1}{x^2} + x^2 $.

Заметим, что искомое выражение состоит из квадратов слагаемых исходного выражения. Это подсказывает, что нужно возвести обе части исходного равенства в квадрат.

Возводим в квадрат обе части уравнения $ \frac{1}{x} + x = m $:

$ (\frac{1}{x} + x)^2 = m^2 $

Для левой части применим формулу квадрата суммы: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $. В нашем случае $ a = \frac{1}{x} $ и $ b = x $.

$ (\frac{1}{x})^2 + 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot x + x^2 = m^2 $

Теперь упростим полученное выражение. Средний член $ 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot x $ равен $ 2 $, так как $ \frac{1}{x} \cdot x = 1 $ (при $ x \neq 0 $, что подразумевается условием).

$ \frac{1}{x^2} + 2 + x^2 = m^2 $

Мы получили уравнение, содержащее искомое выражение $ \frac{1}{x^2} + x^2 $. Чтобы выразить его, перенесем 2 из левой части уравнения в правую, поменяв знак:

$ \frac{1}{x^2} + x^2 = m^2 - 2 $

Таким образом, значение выражения $ \frac{1}{x^2} + x^2 $ равно $ m^2 - 2 $. Это соответствует варианту C.

Ответ: $ m^2 - 2 $