Номер 22, страница 256 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22. Дана числовая последовательность 20; 32; 18; 42; A; B; 30; 18, где значение А равно значению выражения $ \frac{3x}{3+x} \cdot \frac{x^2 - 9}{x} $ при $x=7$, а значение В равно значению выражения $ \frac{y-5}{y-4} \cdot \frac{16-y^2}{y^2-25} + 28,9 $ при $y=5$.

Найдите наименьшее значение, медиану числового ряда:

A. Наименьшее значение — 18; медиана — 24;

B. Наименьшее значение — 12; медиана — 24;

C. Наименьшее значение — 12; медиана — 22;

D. Наименьшее значение — 16; медиана — 22.

Для решения задачи необходимо выполнить три шага: найти значение A, найти значение B, а затем, используя полный числовой ряд, определить его наименьшее значение и медиану.

1. Найдем значение A

Значение A равно значению выражения $ \frac{3x}{3+x} \cdot \frac{x^2-9}{x} $ при $ x=7 $.

Сначала упростим выражение. Используем формулу разности квадратов $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $ для числителя второй дроби:

$ \frac{3x}{3+x} \cdot \frac{x^2-9}{x} = \frac{3x}{x+3} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{x} $

Сократим общие множители $ x $ и $ (x+3) $, так как при $ x=7 $ они не равны нулю:

$ \frac{3\cancel{x}}{\cancel{x+3}} \cdot \frac{(x-3)(\cancel{x+3})}{\cancel{x}} = 3(x-3) $

Теперь подставим значение $ x=7 $ в упрощенное выражение:

$ A = 3(7-3) = 3 \cdot 4 = 12 $

Таким образом, $ A = 12 $.

2. Найдем значение B

Значение B равно значению выражения $ \frac{y-5}{y-4} \cdot \frac{16-y^2}{y^2-25} + 28,9 $ при $ y=5 $.

При подстановке $ y=5 $ в знаменатель $ y^2-25 $ получается ноль, что является неопределенностью. Поэтому сначала упростим выражение, разложив $ 16-y^2 $ и $ y^2-25 $ на множители:

$ 16-y^2 = (4-y)(4+y) = -(y-4)(y+4) $

$ y^2-25 = (y-5)(y+5) $

Подставим разложения в выражение:

$ \frac{y-5}{y-4} \cdot \frac{-(y-4)(y+4)}{(y-5)(y+5)} + 28,9 $

Сократим общие множители $ (y-5) $ и $ (y-4) $ (это математически корректно для нахождения предела функции в точке разрыва):

$ \frac{\cancel{y-5}}{\cancel{y-4}} \cdot \frac{-(\cancel{y-4})(y+4)}{(\cancel{y-5})(y+5)} + 28,9 = -\frac{y+4}{y+5} + 28,9 $

Теперь подставим значение $ y=5 $ в упрощенное выражение:

$ B = -\frac{5+4}{5+5} + 28,9 = -\frac{9}{10} + 28,9 = -0,9 + 28,9 = 28 $

Таким образом, $ B = 28 $.

3. Найдем наименьшее значение и медиану числового ряда

Исходная числовая последовательность: 20; 32; 18; 42; A; B; 30; 18.

Подставим найденные значения $ A=12 $ и $ B=28 $ в последовательность:

20; 32; 18; 42; 12; 28; 30; 18.

Для нахождения наименьшего значения и медианы упорядочим числовой ряд по возрастанию. В ряду 8 элементов.

Упорядоченный ряд: 12; 18; 18; 20; 28; 30; 32; 42.

Наименьшее значение в ряду — это первый его элемент. В данном случае это 12.

Медиана числового ряда с четным количеством элементов (n=8) вычисляется как среднее арифметическое двух центральных элементов (4-го и 5-го).

Четвертый элемент ряда равен 20, а пятый — 28.

Медиана = $ \frac{20 + 28}{2} = \frac{48}{2} = 24 $.

Итак, наименьшее значение ряда равно 12, а медиана равна 24. Это соответствует варианту ответа B.

Ответ: Наименьшее значение — 12; медиана — 24.