Номер 5, страница 257 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5. 1) $\frac{27^2 - 17^2}{16^2 - 6^2}$;

2) $\frac{48^2 - 18^2}{35^2 - 15^2}$;

3) $\frac{87^2 - 43^2}{31^2 - 16^2}$;

4) $\frac{98^2 - 58^2}{75^2 - 35^2}$;

5) $\frac{123^3 + 73^3}{196} - 123 \cdot 73$;

6) $\frac{186^3 - 34^3}{152} + 186 \cdot 34.$

1) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{27^2 - 17^2}{16^2 - 6^2}$, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и знаменателя.

Преобразуем числитель: $27^2 - 17^2 = (27 - 17)(27 + 17) = 10 \cdot 44$.

Преобразуем знаменатель: $16^2 - 6^2 = (16 - 6)(16 + 6) = 10 \cdot 22$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{10 \cdot 44}{10 \cdot 22} = \frac{44}{22} = 2$.

Ответ: 2

2) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{48^2 - 18^2}{35^2 - 15^2}$, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и знаменателя.

Преобразуем числитель: $48^2 - 18^2 = (48 - 18)(48 + 18) = 30 \cdot 66$.

Преобразуем знаменатель: $35^2 - 15^2 = (35 - 15)(35 + 15) = 20 \cdot 50$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{30 \cdot 66}{20 \cdot 50} = \frac{1980}{1000} = 1,98$.

Ответ: 1,98

3) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{87^2 - 43^2}{31^2 - 16^2}$, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и знаменателя.

Преобразуем числитель: $87^2 - 43^2 = (87 - 43)(87 + 43) = 44 \cdot 130$.

Преобразуем знаменатель: $31^2 - 16^2 = (31 - 16)(31 + 16) = 15 \cdot 47$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{44 \cdot 130}{15 \cdot 47} = \frac{5720}{705}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{5720 \div 5}{705 \div 5} = \frac{1144}{141}$.

Так как $141 = 3 \cdot 47$, а 1144 не делится ни на 3, ни на 47, данная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{1144}{141}$

4) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{98^2 - 58^2}{75^2 - 35^2}$, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и знаменателя.

Преобразуем числитель: $98^2 - 58^2 = (98 - 58)(98 + 58) = 40 \cdot 156$.

Преобразуем знаменатель: $75^2 - 35^2 = (75 - 35)(75 + 35) = 40 \cdot 110$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{40 \cdot 156}{40 \cdot 110} = \frac{156}{110}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{156 \div 2}{110 \div 2} = \frac{78}{55}$.

Ответ: $\frac{78}{55}$

5) Рассмотрим выражение $\frac{123^3 + 73^3}{196} - 123 \cdot 73$.

Обозначим $a = 123$ и $b = 73$. Заметим, что знаменатель $196 = 123 + 73 = a + b$.

Тогда выражение можно записать как $\frac{a^3 + b^3}{a+b} - ab$.

Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$\frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a+b} - ab = (a^2 - ab + b^2) - ab = a^2 - 2ab + b^2$.

Полученное выражение является формулой квадрата разности: $(a-b)^2$.

Подставим обратно значения $a$ и $b$: $(123 - 73)^2 = 50^2 = 2500$.

Ответ: 2500

6) Рассмотрим выражение $\frac{186^3 - 34^3}{152} + 186 \cdot 34$.

Обозначим $a = 186$ и $b = 34$. Заметим, что знаменатель $152 = 186 - 34 = a - b$.

Тогда выражение можно записать как $\frac{a^3 - b^3}{a-b} + ab$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:

$\frac{(a-b)(a^2 + ab + b^2)}{a-b} + ab = (a^2 + ab + b^2) + ab = a^2 + 2ab + b^2$.

Полученное выражение является формулой квадрата суммы: $(a+b)^2$.

Подставим обратно значения $a$ и $b$: $(186 + 34)^2 = 220^2 = 48400$.

Ответ: 48400