Номер 12, страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (11-12) :

12.

1) $(a^2 - 5)(3 + 2a) - 2a(a^2 + 4);$

2) $(2 - 3a)^3 - 4(2 - 9a) + 26a^3;$

3) $(4 + a)^3 - (a - 4)^3 - 36(2a^2 + 3).$

1) $(a^2-5)(3+2a)-2a(a^2+4)$

Для упрощения данного выражения необходимо последовательно выполнить следующие действия: раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Шаг 1: Раскроем скобки. Сначала перемножим два многочлена $(a^2-5)$ и $(3+2a)$ по правилу "каждый член первого на каждый член второго":

$(a^2-5)(3+2a) = a^2 \cdot 3 + a^2 \cdot 2a - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 2a = 2a^3 + 3a^2 - 10a - 15$

Шаг 2: Раскроем вторую часть выражения, умножив одночлен $-2a$ на многочлен $(a^2+4)$:

$-2a(a^2+4) = -2a \cdot a^2 - 2a \cdot 4 = -2a^3 - 8a$

Шаг 3: Объединим результаты и приведем подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью.

$(2a^3 + 3a^2 - 10a - 15) + (-2a^3 - 8a) = 2a^3 + 3a^2 - 10a - 15 - 2a^3 - 8a$

Сгруппируем их:

$(2a^3 - 2a^3) + 3a^2 + (-10a - 8a) - 15$

Выполним действия:

$0 + 3a^2 - 18a - 15 = 3a^2 - 18a - 15$

Ответ: $3a^2 - 18a - 15$

2) $(2-3a)^3-4(2-9a)+26a^3$

Для упрощения этого выражения сначала возведем двучлен в куб, используя формулу куба разности, затем раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Шаг 1: Используем формулу куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ для выражения $(2-3a)^3$. Здесь $x=2$, $y=3a$.

$(2-3a)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot (3a) + 3 \cdot 2 \cdot (3a)^2 - (3a)^3 = 8 - 3 \cdot 4 \cdot 3a + 6 \cdot 9a^2 - 27a^3 = 8 - 36a + 54a^2 - 27a^3$

Шаг 2: Раскроем скобки в выражении $-4(2-9a)$:

$-4(2-9a) = -4 \cdot 2 - 4 \cdot (-9a) = -8 + 36a$

Шаг 3: Подставим полученные выражения в исходное и приведем подобные слагаемые.

$(8 - 36a + 54a^2 - 27a^3) + (-8 + 36a) + 26a^3 = 8 - 36a + 54a^2 - 27a^3 - 8 + 36a + 26a^3$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(-27a^3 + 26a^3) + 54a^2 + (-36a + 36a) + (8 - 8)$

Выполним действия:

$-a^3 + 54a^2 + 0 + 0 = 54a^2 - a^3$

Ответ: $54a^2 - a^3$

3) $(4+a)^3-(a-4)^3-36(2a^2+3)$

Для упрощения этого выражения используем формулы куба суммы и куба разности, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Шаг 1: Раскроем $(4+a)^3$ по формуле куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. Здесь $x=4$, $y=a$.

$(4+a)^3 = 4^3 + 3 \cdot 4^2 \cdot a + 3 \cdot 4 \cdot a^2 + a^3 = 64 + 3 \cdot 16 \cdot a + 12a^2 + a^3 = 64 + 48a + 12a^2 + a^3$

Шаг 2: Раскроем $(a-4)^3$ по формуле куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. Здесь $x=a$, $y=4$.

$(a-4)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 4 + 3 \cdot a \cdot 4^2 - 4^3 = a^3 - 12a^2 + 3 \cdot a \cdot 16 - 64 = a^3 - 12a^2 + 48a - 64$

Шаг 3: Раскроем скобки в выражении $-36(2a^2+3)$:

$-36(2a^2+3) = -36 \cdot 2a^2 - 36 \cdot 3 = -72a^2 - 108$

Шаг 4: Подставим все в исходное выражение. Важно не забыть, что перед $(a-4)^3$ стоит знак минус, поэтому все знаки в его разложении меняются на противоположные.

$(64 + 48a + 12a^2 + a^3) - (a^3 - 12a^2 + 48a - 64) - 72a^2 - 108 = 64 + 48a + 12a^2 + a^3 - a^3 + 12a^2 - 48a + 64 - 72a^2 - 108$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(a^3 - a^3) + (12a^2 + 12a^2 - 72a^2) + (48a - 48a) + (64 + 64 - 108)$

Выполним действия:

$0 + (24a^2 - 72a^2) + 0 + (128 - 108) = -48a^2 + 20$

Ответ: $20 - 48a^2$