Номер 19, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите тождества (19-20) :

19.1) $(a - m + 7) \cdot (a + m - 7) - a^2 = (m - 7)^2;$

2) $(3x + 5 - y) \cdot (3x + 5 + y) + y^2 = (3x + 5)^2;$

3) $(6x - 8y + 7) \cdot (6x + 8y - 7) + (8y - 7)^2 = 36x^2;$

4) $(9k + 11 + 2m + n) \cdot (9k - 2m + 11 - n) - 9k(9k + 22) + 4m(m + n) = 121 - n^2.$

1) Для доказательства тождества $(a - m + 7)(a + m - 7) - a^2 = (m - 7)^2$ преобразуем его левую часть.

Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы использовать формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$(a - m + 7)(a + m - 7) - a^2 = (a - (m - 7))(a + (m - 7)) - a^2$

Применим формулу разности квадратов, где $x=a$ и $y=m-7$:

$a^2 - (m-7)^2 - a^2$

Упростим выражение:

$a^2 - (m-7)^2 - a^2 = -(m-7)^2$

В левой части мы получили $-(m-7)^2$. Правая часть тождества равна $(m-7)^2$.

Равенство $-(m-7)^2 = (m-7)^2$ выполняется только при условии $(m-7)^2=0$, то есть при $m=7$. Поскольку тождество должно выполняться для любых значений переменных, данное равенство не является тождеством. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если бы равенство имело вид $a^2 - (a - m + 7)(a + m - 7) = (m - 7)^2$, оно было бы верным, так как $a^2 - (a^2 - (m-7)^2) = (m-7)^2$.

Ответ: Преобразование левой части дает $-(m-7)^2$, что не равно правой части $(m-7)^2$ для всех значений $m$. Исходное равенство не является тождеством.

2) Для доказательства тождества $(3x + 5 - y)(3x + 5 + y) + y^2 = (3x + 5)^2$ преобразуем его левую часть.

Сгруппируем слагаемые в первых двух скобках, чтобы применить формулу разности квадратов:

$((3x + 5) - y)((3x + 5) + y) + y^2$

Применив формулу $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для $a=3x+5$ и $b=y$, получим:

$(3x+5)^2 - y^2 + y^2$

Упрощаем выражение:

$(3x+5)^2 - y^2 + y^2 = (3x+5)^2$

Левая часть тождественно равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(3x+5)^2 = (3x+5)^2$. Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $(6x - 8y + 7)(6x + 8y - 7) + (8y - 7)^2 = 36x^2$ преобразуем его левую часть.

Сгруппируем слагаемые в первых двух скобках:

$(6x - (8y - 7))(6x + (8y - 7)) + (8y - 7)^2$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=6x$ и $b=8y-7$:

$(6x)^2 - (8y-7)^2 + (8y - 7)^2$

Упрощаем выражение:

$36x^2 - (8y-7)^2 + (8y - 7)^2 = 36x^2$

Левая часть тождественно равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $36x^2 = 36x^2$. Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $(9k + 11 + 2m + n)(9k - 2m + 11 - n) - 9k(9k + 22) + 4m(m + n) = 121 - n^2$ преобразуем его левую часть.

Сначала сгруппируем слагаемые в произведении двух скобок:

$((9k + 11) + (2m + n))((9k + 11) - (2m + n))$

Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=9k+11$ и $b=2m+n$:

$(9k+11)^2 - (2m+n)^2$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(9k+11)^2 - (2m+n)^2 - 9k(9k + 22) + 4m(m + n)$

Раскроем все скобки:

$( (9k)^2 + 2 \cdot 9k \cdot 11 + 11^2 ) - ( (2m)^2 + 2 \cdot 2m \cdot n + n^2 ) - (9k \cdot 9k + 9k \cdot 22) + (4m \cdot m + 4m \cdot n)$

$(81k^2 + 198k + 121) - (4m^2 + 4mn + n^2) - (81k^2 + 198k) + (4m^2 + 4mn)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$81k^2 + 198k + 121 - 4m^2 - 4mn - n^2 - 81k^2 - 198k + 4m^2 + 4mn$

$(81k^2 - 81k^2) + (198k - 198k) + (-4m^2 + 4m^2) + (-4mn + 4mn) + 121 - n^2$

$0 + 0 + 0 + 0 + 121 - n^2 = 121 - n^2$

Левая часть тождественно равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $121 - n^2 = 121 - n^2$. Тождество доказано.