Номер 21, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21. Докажите, что тождественно равны выражения:

1) $\frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} + \frac{1}{x - 2}$ и $\frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4}$;

2) $\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{3}{a - 1}$ и $\frac{1}{a - 1}$.

1) Чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую часть равенства и покажем, что она равна правой части.

Левая часть: $ \frac{x-2}{x^2+2x+4} - \frac{6x}{x^3-8} + \frac{1}{x-2} $.

Разложим знаменатель $x^3-8$ по формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$: $x^3-8 = x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)$.

Общим знаменателем для дробей будет выражение $(x-2)(x^2+2x+4)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{(x-2)(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)} - \frac{6x}{(x-2)(x^2+2x+4)} + \frac{1 \cdot (x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)} $

Объединим числители под общим знаменателем:

$ \frac{(x-2)^2 - 6x + (x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ (x^2-4x+4) - 6x + x^2+2x+4 = x^2-4x+4 - 6x + x^2+2x+4 = (x^2+x^2) + (-4x-6x+2x) + (4+4) = 2x^2-8x+8 $

Выражение принимает вид:

$ \frac{2x^2-8x+8}{(x-2)(x^2+2x+4)} $

Вынесем в числителе общий множитель 2 и свернем по формуле квадрата разности:

$ 2x^2-8x+8 = 2(x^2-4x+4) = 2(x-2)^2 $

Подставим обратно в дробь и сократим:

$ \frac{2(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{2(x-2)}{x^2+2x+4} = \frac{2x-4}{x^2+2x+4} $

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью $ \frac{2x-4}{x^2+2x+4} $. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество, упростив левую часть до вида правой части.

Левая часть: $ \frac{2a^2+7a+3}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} - \frac{3}{a-1} $.

Разложим знаменатель $a^3-1$ по формуле разности кубов:

$a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$.

Это выражение является общим знаменателем для всех трех дробей. Приведем их к нему:

$ \frac{2a^2+7a+3}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{(1-2a)(a-1)}{(a^2+a+1)(a-1)} - \frac{3(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)} $

Запишем числители под общим знаменателем:

$ \frac{(2a^2+7a+3) - (1-2a)(a-1) - 3(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)} $

Раскроем скобки в числителе. Сначала вычислим произведение $(1-2a)(a-1) = a-1-2a^2+2a = -2a^2+3a-1$.

Теперь подставим все в числитель и упростим:

$ 2a^2+7a+3 - (-2a^2+3a-1) - (3a^2+3a+3) = 2a^2+7a+3 + 2a^2-3a+1 - 3a^2-3a-3 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (2a^2+2a^2-3a^2) + (7a-3a-3a) + (3+1-3) = a^2+a+1 $

Таким образом, наше выражение упростилось до:

$ \frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} $

Сократим дробь на общий множитель $(a^2+a+1)$:

$ \frac{1}{a-1} $

Полученное выражение совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.