Номер 18, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18. Упростите выражение:

1) $ (8a - 5)(9a + 10) - (12a - 7)(11 + 6a) + 55a; $

2) $ (14a - 3)(15a + 10) - (35a + 2)(7 + 6a) + 162a; $

3) $ (a - 3)^3 - (a + 7)^3 + 30a^2 + 120a; $

4) $ (a + 5)^3 + (6 - a)^3 + 33(20 + a - a^2). $

1)Для упрощения выражения $(8a - 5)(9a + 10) - (12a - 7)(11 + 6a) + 55a$ выполним следующие действия:

1. Раскроем скобки, перемножая многочлены.

$(8a - 5)(9a + 10) = 8a \cdot 9a + 8a \cdot 10 - 5 \cdot 9a - 5 \cdot 10 = 72a^2 + 80a - 45a - 50 = 72a^2 + 35a - 50$.

$(12a - 7)(11 + 6a) = 12a \cdot 11 + 12a \cdot 6a - 7 \cdot 11 - 7 \cdot 6a = 132a + 72a^2 - 77 - 42a = 72a^2 + 90a - 77$.

2. Подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(72a^2 + 35a - 50) - (72a^2 + 90a - 77) + 55a$.

3. Раскроем вторые скобки, поменяв знаки слагаемых внутри на противоположные:

$72a^2 + 35a - 50 - 72a^2 - 90a + 77 + 55a$.

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(72a^2 - 72a^2) + (35a - 90a + 55a) + (-50 + 77)$.

$0 + (90a - 90a) + 27 = 27$.

Ответ: 27.

2)Для упрощения выражения $(14a - 3)(15a + 10) - (35a + 2)(7 + 6a) + 162a$ выполним следующие действия:

1. Раскроем скобки, перемножая многочлены.

$(14a - 3)(15a + 10) = 14a \cdot 15a + 14a \cdot 10 - 3 \cdot 15a - 3 \cdot 10 = 210a^2 + 140a - 45a - 30 = 210a^2 + 95a - 30$.

$(35a + 2)(7 + 6a) = 35a \cdot 7 + 35a \cdot 6a + 2 \cdot 7 + 2 \cdot 6a = 245a + 210a^2 + 14 + 12a = 210a^2 + 257a + 14$.

2. Подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(210a^2 + 95a - 30) - (210a^2 + 257a + 14) + 162a$.

3. Раскроем вторые скобки, поменяв знаки слагаемых внутри на противоположные:

$210a^2 + 95a - 30 - 210a^2 - 257a - 14 + 162a$.

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(210a^2 - 210a^2) + (95a - 257a + 162a) + (-30 - 14)$.

$0 + (257a - 257a) - 44 = -44$.

Ответ: -44.

3)Для упрощения выражения $(a - 3)^3 - (a + 7)^3 + 30a^2 + 120a$ выполним следующие действия:

1. Используем формулы сокращенного умножения: куб разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ и куб суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

$(a - 3)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 - 3^3 = a^3 - 9a^2 + 27a - 27$.

$(a + 7)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 7 + 3 \cdot a \cdot 7^2 + 7^3 = a^3 + 21a^2 + 147a + 343$.

2. Подставим полученные выражения в исходное:

$(a^3 - 9a^2 + 27a - 27) - (a^3 + 21a^2 + 147a + 343) + 30a^2 + 120a$.

3. Раскроем скобки, учитывая знак минус перед вторыми скобками:

$a^3 - 9a^2 + 27a - 27 - a^3 - 21a^2 - 147a - 343 + 30a^2 + 120a$.

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - a^3) + (-9a^2 - 21a^2 + 30a^2) + (27a - 147a + 120a) + (-27 - 343)$.

$0 + (-30a^2 + 30a^2) + (147a - 147a) - 370 = -370$.

Ответ: -370.

4)Для упрощения выражения $(a + 5)^3 + (6 - a)^3 + 33(20 + a - a^2)$ применим нестандартный подход.

1. Воспользуемся тождеством для суммы кубов: $x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$.

2. Обозначим $x = a+5$ и $y = 6-a$.

3. Найдем сумму $x+y$:

$x+y = (a+5) + (6-a) = 11$.

4. Найдем произведение $xy$:

$xy = (a+5)(6-a) = 6a - a^2 + 30 - 5a = -a^2 + a + 30$.

5. Заметим, что выражение в последних скобках можно выразить через $xy$:

$20 + a - a^2 = (-a^2 + a + 30) - 10 = xy - 10$.

6. Теперь всё выражение можно переписать через $x$ и $y$:

$x^3 + y^3 + 33(xy - 10)$.

7. Применим тождество из шага 1:

$((x+y)^3 - 3xy(x+y)) + 33(xy - 10)$.

8. Подставим известное значение $x+y = 11$:

$(11^3 - 3xy \cdot 11) + 33xy - 330$.

$1331 - 33xy + 33xy - 330$.

9. Взаимно уничтожаем слагаемые $-33xy$ и $+33xy$ и вычисляем разность:

$1331 - 330 = 1001$.

Ответ: 1001.