Номер 15, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15. Докажите, что при любых значениях переменной от них не зависит значение выражения:

1) $ (8ac - 4)(ac + 5) - 4ac(2ac +9); $

2) $ (15mn - 7)(12mn+8) - 36mn(5mn + 1); $

3) $ (10x^2 - 3)(9x^2-2) - 3x^2(30x^2 +17) + 98x^2; $

4) $ (4cd^3-7)^2 + 4 cd^3(14-4cd^3). $

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки, используя правило умножения многочленов и распределительное свойство умножения, а затем приведем подобные слагаемые.

$(8ac - 4)(ac + 5) - 4ac(2ac + 9) = (8ac \cdot ac + 8ac \cdot 5 - 4 \cdot ac - 4 \cdot 5) - (4ac \cdot 2ac + 4ac \cdot 9) = $

$= (8a^2c^2 + 40ac - 4ac - 20) - (8a^2c^2 + 36ac) = 8a^2c^2 + 36ac - 20 - 8a^2c^2 - 36ac$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(8a^2c^2 - 8a^2c^2) + (36ac - 36ac) - 20 = 0 + 0 - 20 = -20$.

Полученное значение является числом и не зависит от значений переменных $a$ и $c$, что и требовалось доказать.

Ответ: $-20$.

2) Упростим данное выражение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$(15mn - 7)(12mn + 8) - 36mn(5mn + 1) = (15mn \cdot 12mn + 15mn \cdot 8 - 7 \cdot 12mn - 7 \cdot 8) - (36mn \cdot 5mn + 36mn \cdot 1) = $

$= (180m^2n^2 + 120mn - 84mn - 56) - (180m^2n^2 + 36mn) = 180m^2n^2 + 36mn - 56 - 180m^2n^2 - 36mn$.

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(180m^2n^2 - 180m^2n^2) + (36mn - 36mn) - 56 = 0 + 0 - 56 = -56$.

Результат является постоянным числом и не зависит от значений переменных $m$ и $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: $-56$.

3) Упростим выражение, последовательно выполняя все алгебраические операции.

$(10x^2 - 3)(9x^2 - 2) - 3x^2(30x^2 + 17) + 98x^2 = $

$= (10x^2 \cdot 9x^2 - 10x^2 \cdot 2 - 3 \cdot 9x^2 - 3 \cdot (-2)) - (3x^2 \cdot 30x^2 + 3x^2 \cdot 17) + 98x^2 = $

$= (90x^4 - 20x^2 - 27x^2 + 6) - (90x^4 + 51x^2) + 98x^2 = 90x^4 - 47x^2 + 6 - 90x^4 - 51x^2 + 98x^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(90x^4 - 90x^4) + (-47x^2 - 51x^2 + 98x^2) + 6 = 0 + (-98x^2 + 98x^2) + 6 = 0 + 0 + 6 = 6$.

Значение выражения равно 6 при любых значениях переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: $6$.

4) Упростим выражение. Для первого слагаемого применим формулу сокращенного умножения "квадрат разности" $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а для второго - распределительное свойство.

$(4cd^3 - 7)^2 + 4cd^3(14 - 4cd^3) = ((4cd^3)^2 - 2 \cdot 4cd^3 \cdot 7 + 7^2) + (4cd^3 \cdot 14 - 4cd^3 \cdot 4cd^3) = $

$= (16c^2d^6 - 56cd^3 + 49) + (56cd^3 - 16c^2d^6)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$16c^2d^6 - 56cd^3 + 49 + 56cd^3 - 16c^2d^6 = (16c^2d^6 - 16c^2d^6) + (-56cd^3 + 56cd^3) + 49 = 0 + 0 + 49 = 49$.

Результат не зависит от значений переменных $c$ и $d$, что и требовалось доказать.

Ответ: $49$.