Номер 22, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22. Выполните действия над дробями:

1) $ \frac{18c^4}{7d} : (-9c^2d); $

2) $ \frac{14}{9x^3} : \frac{7x}{2y^2}; $

3) $ \frac{3x}{10a^3} : \frac{1}{5a^2}; $

4) $ 27a^3 \cdot \frac{a^2}{b} : \frac{18a^4}{7b^2}. $

1) Для выполнения деления на одночлен $(-9c^2d)$ представим его в виде дроби $\frac{-9c^2d}{1}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{18c^4}{7d} : (-9c^2d) = \frac{18c^4}{7d} : \frac{-9c^2d}{1} = \frac{18c^4}{7d} \cdot \frac{1}{-9c^2d}$

Теперь перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{18c^4 \cdot 1}{7d \cdot (-9c^2d)} = \frac{18c^4}{-63c^2d^2}$

Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их общие множители. Коэффициенты $18$ и $-63$ делятся на $9$. Степени переменных сокращаются по правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$-\frac{18c^4}{63c^2d^2} = -\frac{2 \cdot 9 \cdot c^{4-2}}{7 \cdot 9 \cdot d^2} = -\frac{2c^2}{7d^2}$

Ответ: $-\frac{2c^2}{7d^2}$

2) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную (перевернутую) второй.

$\frac{14}{9x^3} : \frac{7x}{2y^2} = \frac{14}{9x^3} \cdot \frac{2y^2}{7x}$

Перемножим числители и знаменатели, а затем выполним сокращение. Можно сократить $14$ и $7$ на $7$ до перемножения.

$\frac{14 \cdot 2y^2}{9x^3 \cdot 7x} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 2y^2}{9x^3 \cdot 7x} = \frac{2 \cdot 2y^2}{9x^3 \cdot x}$

Теперь умножим оставшиеся множители в числителе и знаменателе. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^3 \cdot x = x^{3+1} = x^4$.

$\frac{4y^2}{9x^4}$

Ответ: $\frac{4y^2}{9x^4}$

3) Заменим деление на умножение на обратную дробь, как и в предыдущих примерах.

$\frac{3x}{10a^3} : \frac{1}{5a^2} = \frac{3x}{10a^3} \cdot \frac{5a^2}{1}$

Перемножим дроби и выполним сокращение:

$\frac{3x \cdot 5a^2}{10a^3} = \frac{15xa^2}{10a^3}$

Сократим числовые коэффициенты (15 и 10 делятся на 5) и степени переменной $a$ (сокращаем на $a^2$):

$\frac{3 \cdot 5 \cdot x \cdot a^2}{2 \cdot 5 \cdot a^3} = \frac{3x}{2a^{3-2}} = \frac{3x}{2a}$

Ответ: $\frac{3x}{2a}$

4) В этом выражении действия выполняются последовательно слева направо. Сначала умножение, потом деление. Деление можно сразу заменить на умножение на обратную дробь.

$27a^3 \cdot \frac{a^2}{b} : \frac{18a^4}{7b^2} = \frac{27a^3}{1} \cdot \frac{a^2}{b} \cdot \frac{7b^2}{18a^4}$

Объединим все множители в одну дробь, записав произведение числителей в числитель, а произведение знаменателей — в знаменатель.

$\frac{27a^3 \cdot a^2 \cdot 7b^2}{1 \cdot b \cdot 18a^4} = \frac{27 \cdot 7 \cdot a^{3+2} \cdot b^2}{18 \cdot a^4 \cdot b} = \frac{189a^5b^2}{18a^4b}$

Теперь сократим дробь:

Числовые коэффициенты: $\frac{189}{18} = \frac{21 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{21}{2}$.

Степени переменной $a$: $\frac{a^5}{a^4} = a^{5-4} = a$.

Степени переменной $b$: $\frac{b^2}{b} = b^{2-1} = b$.

Соберем результат:

$\frac{21ab}{2}$

Ответ: $\frac{21ab}{2}$