Номер 17, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17. Верно ли равенство:

1) $(12a - 5)^2 - 18a(8a - 6) + 12a = 25;$

2) $17(a - 3)^2 - (4a + 1)^2 - 22(7 - 5a) = a^2 - 2;$

3) $9\left(b + 1\frac{2}{3}\right)^2 - 21(2b + 1) - (3b - 2)^2 - 200 = 0;$

4) $15(5a + 6)(6 - 5a) + 13(6a - 1)^2 - 31(17 + 3a^2) - 26 = -156a? $

1) $(12a - 5)^2 - 18a(8a - 6) + 12a = 25$

Преобразуем левую часть равенства. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и распределительный закон.

Раскрываем квадрат разности: $(12a - 5)^2 = (12a)^2 - 2 \cdot 12a \cdot 5 + 5^2 = 144a^2 - 120a + 25$.

Раскрываем скобки во втором слагаемом: $-18a(8a - 6) = -18a \cdot 8a - 18a \cdot (-6) = -144a^2 + 108a$.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства и приведем подобные слагаемые:

$(144a^2 - 120a + 25) - 144a^2 + 108a + 12a = (144a^2 - 144a^2) + (-120a + 108a + 12a) + 25 = 0 + 0 + 25 = 25$.

В результате упрощения левая часть стала равна 25. Правая часть равенства также равна 25.

$25 = 25$.

Следовательно, равенство верно.

Ответ: верно.

2) $17(a - 3)^2 - (4a + 1)^2 - 22(7 - 5a) = a^2 - 2$

Преобразуем левую часть равенства. Раскроем все скобки, используя формулы сокращенного умножения: $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ и $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.

$17(a - 3)^2 = 17(a^2 - 6a + 9) = 17a^2 - 102a + 153$.

$-(4a + 1)^2 = -(16a^2 + 8a + 1) = -16a^2 - 8a - 1$.

$-22(7 - 5a) = -154 + 110a$.

Сложим полученные выражения:

$(17a^2 - 102a + 153) + (-16a^2 - 8a - 1) + (-154 + 110a) = (17a^2 - 16a^2) + (-102a - 8a + 110a) + (153 - 1 - 154) = a^2 + 0 \cdot a - 2 = a^2 - 2$.

Левая часть равенства после преобразований равна $a^2 - 2$. Правая часть также равна $a^2 - 2$.

$a^2 - 2 = a^2 - 2$.

Следовательно, равенство верно.

Ответ: верно.

3) $9(b + 1\frac{2}{3})^2 - 21(2b + 1) - (3b - 2)^2 - 200 = 0$

Преобразуем левую часть равенства. Сначала представим смешанную дробь в виде неправильной: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

Раскроем скобки. Для первого слагаемого удобнее сначала внести 9 под знак квадрата как 3:

$9(b + \frac{5}{3})^2 = (3(b + \frac{5}{3}))^2 = (3b + 3 \cdot \frac{5}{3})^2 = (3b + 5)^2 = 9b^2 + 30b + 25$.

Раскроем остальные скобки:

$-21(2b + 1) = -42b - 21$.

$-(3b - 2)^2 = -(9b^2 - 12b + 4) = -9b^2 + 12b - 4$.

Теперь сложим все части и приведем подобные слагаемые:

$(9b^2 + 30b + 25) + (-42b - 21) + (-9b^2 + 12b - 4) - 200 = (9b^2 - 9b^2) + (30b - 42b + 12b) + (25 - 21 - 4 - 200) = 0 + 0 - 200 = -200$.

Левая часть равенства после преобразований равна -200. Правая часть равна 0.

$-200 \neq 0$.

Следовательно, равенство неверно.

Ответ: неверно.

4) $15(5a + 6)(6 - 5a) + 13(6a - 1)^2 - 31(17 + 3a^2) - 26 = -156a$

Преобразуем левую часть равенства. Раскроем все скобки, используя формулы сокращенного умножения: $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ и $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

$15(5a + 6)(6 - 5a) = 15(6 + 5a)(6 - 5a) = 15(6^2 - (5a)^2) = 15(36 - 25a^2) = 540 - 375a^2$.

$13(6a - 1)^2 = 13(36a^2 - 12a + 1) = 468a^2 - 156a + 13$.

$-31(17 + 3a^2) = -527 - 93a^2$.

Соберем все слагаемые вместе:

$(540 - 375a^2) + (468a^2 - 156a + 13) - (527 + 93a^2) - 26 = 540 - 375a^2 + 468a^2 - 156a + 13 - 527 - 93a^2 - 26$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-375a^2 + 468a^2 - 93a^2) - 156a + (540 + 13 - 527 - 26) = (-468a^2 + 468a^2) - 156a + (553 - 553) = 0 - 156a + 0 = -156a$.

Левая часть равенства после преобразований равна $-156a$. Правая часть также равна $-156a$.

$-156a = -156a$.

Следовательно, равенство верно.

Ответ: верно.