Номер 16, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16. Докажите, что при любых значениях переменных значение выражения равно нулю:

1) $25x^2(x^2 - y^2) - 25x^2(x^2 + y^2) + 50x^2y^2$;

2) $(5ac - 8)^2 - (8ac - 5)^2 + 39(a^2c^2 - 1)$.

1) Чтобы доказать, что значение выражения равно нулю, упростим его, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Исходное выражение: $25x^2(x^2 - y^2) - 25x^2(x^2 + y^2) + 50x^2y^2$.

Раскроем первые две скобки:

$25x^2 \cdot x^2 - 25x^2 \cdot y^2 - (25x^2 \cdot x^2 + 25x^2 \cdot y^2) + 50x^2y^2$

$= 25x^4 - 25x^2y^2 - 25x^4 - 25x^2y^2 + 50x^2y^2$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(25x^4 - 25x^4) + (-25x^2y^2 - 25x^2y^2 + 50x^2y^2)$

$= 0 + (-50x^2y^2 + 50x^2y^2)$

$= 0 + 0 = 0$.

Значение выражения равно 0 при любых значениях переменных $x$ и $y$, что и требовалось доказать.

Ответ: 0.

2) Чтобы доказать, что значение выражения равно нулю, упростим его, используя формулы сокращенного умножения.

Исходное выражение: $(5ac - 8)^2 - (8ac - 5)^2 + 39(a^2c^2 - 1)$.

Сначала применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ к первым двум слагаемым, где $A = 5ac - 8$ и $B = 8ac - 5$.

$(5ac - 8)^2 - (8ac - 5)^2 = ((5ac - 8) - (8ac - 5)) \cdot ((5ac - 8) + (8ac - 5))$

$= (5ac - 8 - 8ac + 5) \cdot (5ac - 8 + 8ac - 5)$

$= (-3ac - 3) \cdot (13ac - 13)$.

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$= -3(ac + 1) \cdot 13(ac - 1)$

$= -39(ac + 1)(ac - 1)$.

Используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ в обратном порядке, получаем:

$= -39( (ac)^2 - 1^2 ) = -39(a^2c^2 - 1)$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$-39(a^2c^2 - 1) + 39(a^2c^2 - 1)$.

Эти два слагаемых являются противоположными, и их сумма равна нулю:

$-39(a^2c^2 - 1) + 39(a^2c^2 - 1) = 0$.

Значение выражения равно 0 при любых значениях переменных $a$ и $c$, что и требовалось доказать.

Ответ: 0.