Номер 13, страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13. Для каких значений переменной х является тождеством равенство:

1) $(4m + x)^2 = 16m^2 + 24mn + 9n^2;$

2) $(2a - x)^2 = 4a^2 - 28ab + 49b^2;$

3) $(x + 9n)^2 = 36m^2 + 108mn + 81n^2;$

4) $(x - 6b)^2 = 64a^2 - 96ab + 36b^2?$

1) Чтобы равенство $(4m + x)² = 16m² + 24mn + 9n²$ было тождеством, необходимо найти такое значение $x$, при котором левая и правая части будут идентичны для любых $m$ и $n$.

Правая часть равенства является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы $(a+b)² = a² + 2ab + b²$:

$16m² + 24mn + 9n² = (4m)² + 2 \cdot (4m) \cdot (3n) + (3n)² = (4m + 3n)²$.

Теперь исходное равенство можно переписать в виде:

$(4m + x)² = (4m + 3n)²$.

Чтобы это равенство было тождеством, выражения в основаниях степеней должны быть равны (или противоположны). Сравнивая их, получаем наиболее простое решение:

$4m + x = 4m + 3n$.

Вычитая $4m$ из обеих частей, находим $x$:

$x = 3n$.

Ответ: $x = 3n$.

2) Рассмотрим равенство $(2a - x)² = 4a² - 28ab + 49b²$.

Преобразуем правую часть, используя формулу квадрата разности $(a-b)² = a² - 2ab + b²$:

$4a² - 28ab + 49b² = (2a)² - 2 \cdot (2a) \cdot (7b) + (7b)² = (2a - 7b)²$.

Подставим полученное выражение в исходное равенство:

$(2a - x)² = (2a - 7b)²$.

Сравнивая выражения в скобках, получаем:

$2a - x = 2a - 7b$.

$-x = -7b$.

Умножая обе части на $-1$, находим $x$:

$x = 7b$.

Ответ: $x = 7b$.

3) Рассмотрим равенство $(x + 9n)² = 36m² + 108mn + 81n²$.

Правая часть является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы $(a+b)² = a² + 2ab + b²$:

$36m² + 108mn + 81n² = (6m)² + 2 \cdot (6m) \cdot (9n) + (9n)² = (6m + 9n)²$.

Теперь равенство выглядит так:

$(x + 9n)² = (6m + 9n)²$.

Приравнивая выражения в скобках, получаем:

$x + 9n = 6m + 9n$.

Вычитая $9n$ из обеих частей, находим $x$:

$x = 6m$.

Ответ: $x = 6m$.

4) Рассмотрим равенство $(x - 6b)² = 64a² - 96ab + 36b²$.

Преобразуем правую часть, используя формулу квадрата разности $(a-b)² = a² - 2ab + b²$:

$64a² - 96ab + 36b² = (8a)² - 2 \cdot (8a) \cdot (6b) + (6b)² = (8a - 6b)²$.

Подставим полученное выражение в исходное равенство:

$(x - 6b)² = (8a - 6b)²$.

Сравнивая выражения в скобках, получаем:

$x - 6b = 8a - 6b$.

Прибавляя $6b$ к обеим частям, находим $x$:

$x = 8a$.

Ответ: $x = 8a$.