Номер 20, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите тождества (19-20) :

20.1) $4 + (a+b)^2 - 7a = a(2b-7) + (a^2 + 4 + b^2);$

2) $4t^2 + (3 - k)^2 - (2t-7+k) = k^2 + 2t(2t-1)+k-8(k-2);$

3) $9x^2 - (3x - 2y)^2 = 2y(6x - 2y).$

1) Для доказательства тождества $4 + (a+b)^2 - 7a = a(2b-7) + (a^2+4+b^2)$ преобразуем его левую и правую части.

Преобразуем левую часть, раскрыв скобки по формуле квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:

$4 + (a+b)^2 - 7a = 4 + (a^2 + 2ab + b^2) - 7a = a^2 + b^2 + 2ab - 7a + 4$.

Преобразуем правую часть, раскрыв скобки:

$a(2b-7) + (a^2+4+b^2) = 2ab - 7a + a^2 + 4 + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab - 7a + 4$.

Так как после преобразований левая и правая части выражения стали идентичными ($a^2 + b^2 + 2ab - 7a + 4 = a^2 + b^2 + 2ab - 7a + 4$), тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $4t^2 + (3-k)^2 - (2t-7+k) = k^2 + 2t(2t-1) + k - 8(k-2)$, преобразовав его левую и правую части.

Преобразуем левую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и правила раскрытия скобок, и приведем подобные слагаемые:

$4t^2 + (3-k)^2 - (2t-7+k) = 4t^2 + (9 - 6k + k^2) - 2t + 7 - k = 4t^2 + k^2 - 2t - 7k + 16$.

Преобразуем правую часть. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$k^2 + 2t(2t-1) + k - 8(k-2) = k^2 + 4t^2 - 2t + k - 8k + 16 = k^2 + 4t^2 - 2t - 7k + 16$.

Левая и правая части выражения равны, значит, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $9x^2 - (3x-2y)^2 = 2y(6x-2y)$ преобразуем его левую часть.

Левая часть представляет собой разность квадратов, так как $9x^2 = (3x)^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=3x$ и $b=3x-2y$.

$9x^2 - (3x-2y)^2 = (3x)^2 - (3x-2y)^2 = (3x - (3x-2y))(3x + (3x-2y))$.

Теперь раскроем внутренние скобки в каждом множителе:

$(3x - 3x + 2y)(3x + 3x - 2y) = (2y)(6x-2y)$.

В результате преобразования левая часть стала равна правой части исходного выражения: $2y(6x-2y) = 2y(6x-2y)$. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.