Номер 27, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите, что при допустимых значениях переменной не зависят от переменной значения выражений (27-28) :

27.1) $\left(\frac{4a}{a^2 - 1} + \frac{a - 1}{a + 1}\right) \cdot \frac{a}{a + 1} - \frac{a}{a - 1};$

2) $\left(\frac{8a}{a^2 - 4} + \frac{a - 2}{a + 2}\right) \cdot \frac{a}{a + 2} - \frac{a}{a - 2}.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $a$, необходимо его упростить.

Исходное выражение: $(\frac{4a}{a^2 - 1} + \frac{a-1}{a+1}) \cdot \frac{a}{a+1} - \frac{a}{a-1}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $a^2 - 1 \ne 0$, $a+1 \ne 0$ и $a-1 \ne 0$. Это означает, что $a \ne 1$ и $a \ne -1$.

Упростим выражение по действиям.

1. Сложение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$.

$\frac{4a}{a^2 - 1} + \frac{a-1}{a+1} = \frac{4a}{(a-1)(a+1)} + \frac{(a-1)(a-1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{4a + (a-1)^2}{(a-1)(a+1)}$

Раскроем квадрат разности в числителе: $(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$.

$\frac{4a + a^2 - 2a + 1}{(a-1)(a+1)} = \frac{a^2 + 2a + 1}{(a-1)(a+1)}$

Числитель $a^2 + 2a + 1$ является полным квадратом суммы: $(a+1)^2$.

$\frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)} = \frac{a+1}{a-1}$

2. Умножение. Подставим результат первого действия.

$(\frac{a+1}{a-1}) \cdot \frac{a}{a+1} = \frac{(a+1) \cdot a}{(a-1) \cdot (a+1)} = \frac{a}{a-1}$

3. Вычитание.

$\frac{a}{a-1} - \frac{a}{a-1} = 0$

Поскольку в результате упрощения мы получили число 0, это доказывает, что значение исходного выражения не зависит от переменной $a$ при всех допустимых ее значениях.

Ответ: 0

2) Упростим данное выражение, чтобы доказать, что его значение не зависит от переменной $a$.

Исходное выражение: $(\frac{8a}{a^2 - 4} + \frac{a-2}{a+2}) \cdot \frac{a}{a+2} - \frac{a}{a-2}$.

ОДЗ: $a^2 - 4 \ne 0$, $a+2 \ne 0$ и $a-2 \ne 0$. Следовательно, $a \ne 2$ и $a \ne -2$.

Упростим по действиям.

1. Сложение в скобках. Общий знаменатель $a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$.

$\frac{8a}{a^2 - 4} + \frac{a-2}{a+2} = \frac{8a}{(a-2)(a+2)} + \frac{(a-2)(a-2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{8a + (a-2)^2}{(a-2)(a+2)}$

Раскроем квадрат разности в числителе: $(a-2)^2 = a^2 - 4a + 4$.

$\frac{8a + a^2 - 4a + 4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2 + 4a + 4}{(a-2)(a+2)}$

Числитель $a^2 + 4a + 4$ является полным квадратом суммы: $(a+2)^2$.

$\frac{(a+2)^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{a+2}{a-2}$

2. Умножение.

$(\frac{a+2}{a-2}) \cdot \frac{a}{a+2} = \frac{(a+2) \cdot a}{(a-2) \cdot (a+2)} = \frac{a}{a-2}$

3. Вычитание.

$\frac{a}{a-2} - \frac{a}{a-2} = 0$

Результат упрощения — число 0. Это доказывает, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения постоянно и не зависит от $a$.

Ответ: 0