Номер 31, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (29-31) :

31.1) $x^2 - (x - 7)(x + 7) = 5 - 2(-2 - x);$

2) $121-(11-x)(x+11) = 187 + x(x+11);$

3) $x^2 - 0,3 \cdot \frac{3}{10} - x = (x + 0,3)(x - 0,3);$

4) $(x - \frac{3}{4})(x + 0,75) + \frac{3}{4}(0,75 - x) = x^2 + 1,5.$

1) $x^2 - (x - 7)(x + 7) = 5 - 2(-2 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В правой части применим распределительный закон умножения.

$x^2 - (x^2 - 7^2) = 5 - 2 \cdot (-2) - 2 \cdot (-x)$

Выполним вычисления и упростим:

$x^2 - (x^2 - 49) = 5 + 4 + 2x$

Раскроем скобки в левой части, меняя знаки:

$x^2 - x^2 + 49 = 9 + 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$49 = 9 + 2x$

Перенесем число 9 в левую часть уравнения с противоположным знаком:

$49 - 9 = 2x$

$40 = 2x$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{40}{2}$

$x = 20$

Ответ: 20

2) $121 - (11 - x)(x + 11) = 187 + x(x + 11)$

В левой части уравнения применим формулу разности квадратов. Заметим, что $(11 - x)(x + 11)$ можно записать как $(11 - x)(11 + x)$, что равно $11^2 - x^2$. В правой части раскроем скобки.

$121 - (11^2 - x^2) = 187 + x^2 + 11x$

Выполним вычисления:

$121 - (121 - x^2) = 187 + x^2 + 11x$

Раскроем скобки в левой части:

$121 - 121 + x^2 = 187 + x^2 + 11x$

Упростим левую часть:

$x^2 = 187 + x^2 + 11x$

Перенесем все члены с переменной в одну сторону, а числа в другую. Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$x^2 - x^2 - 11x = 187$

$0 - 11x = 187$

$-11x = 187$

Найдем $x$, разделив обе части на -11:

$x = \frac{187}{-11}$

$x = -17$

Ответ: -17

3) $x^2 - 0,3 \cdot \frac{3}{10} - x = (x + 0,3)(x - 0,3)$

Сначала упростим левую часть, перемножив числа: $0,3 \cdot \frac{3}{10} = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09$. В правой части применим формулу разности квадратов.

$x^2 - 0,09 - x = x^2 - (0,3)^2$

$x^2 - 0,09 - x = x^2 - 0,09$

Теперь перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2 - x^2 - x - 0,09 + 0,09 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) - x + (-0,09 + 0,09) = 0$

$0 - x + 0 = 0$

$-x = 0$

Отсюда следует, что:

$x = 0$

Ответ: 0

4) $(x - \frac{3}{4})(x + 0,75) + \frac{3}{4}(0,75 - x) = x^2 + 1,5$

Для удобства вычислений преобразуем все десятичные дроби в обыкновенные: $0,75 = \frac{3}{4}$ и $1,5 = \frac{3}{2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$(x - \frac{3}{4})(x + \frac{3}{4}) + \frac{3}{4}(\frac{3}{4} - x) = x^2 + \frac{3}{2}$

Первое слагаемое в левой части является разностью квадратов, а во втором слагаемом раскроем скобки:

$(x^2 - (\frac{3}{4})^2) + (\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot x) = x^2 + \frac{3}{2}$

$x^2 - \frac{9}{16} + \frac{9}{16} - \frac{3}{4}x = x^2 + \frac{3}{2}$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 - \frac{3}{4}x = x^2 + \frac{3}{2}$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$-\frac{3}{4}x = \frac{3}{2}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на обратную дробь $-\frac{4}{3}$:

$x = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})$

$x = - \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Сократим множители 3 и разделим 4 на 2:

$x = - \frac{4}{2}$

$x = -2$

Ответ: -2