Номер 35, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35. Решите систему с параметром:

1)

$\begin{cases} -2x+5y-7=0, \\ px+3y-1=0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 8x-9y+4=0, \\ 4x-py+2=0. \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} -2x + 5y - 7 = 0 \\ px + 3y - 1 = 0 \end{cases}$

Перепишем ее в стандартном виде:

$\begin{cases} -2x + 5y = 7 \\ px + 3y = 1 \end{cases}$

Для решения системы линейных уравнений с параметром воспользуемся методом Крамера. Найдем главный определитель системы $\Delta$.

$\Delta = \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ p & 3 \end{vmatrix} = (-2) \cdot 3 - 5 \cdot p = -6 - 5p$

Система имеет единственное решение, если главный определитель не равен нулю, то есть $\Delta \neq 0$.

$-6 - 5p \neq 0 \implies 5p \neq -6 \implies p \neq -\frac{6}{5}$

Если $p \neq -6/5$, найдем решение. Для этого вычислим вспомогательные определители $\Delta_x$ и $\Delta_y$.

$\Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 7 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 21 - 5 = 16$

$\Delta_y = \begin{vmatrix} -2 & 7 \\ p & 1 \end{vmatrix} = (-2) \cdot 1 - 7 \cdot p = -2 - 7p$

Тогда переменные $x$ и $y$ равны:

$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{16}{-6 - 5p} = -\frac{16}{5p + 6}$

$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-2 - 7p}{-6 - 5p} = \frac{7p + 2}{5p + 6}$

Теперь рассмотрим случай, когда $\Delta = 0$, то есть $p = -6/5$.

В этом случае главный определитель равен нулю. Если хотя бы один из вспомогательных определителей не равен нулю, система не имеет решений. Проверим $\Delta_x$:

$\Delta_x = 16 \neq 0$

Поскольку $\Delta = 0$ и $\Delta_x \neq 0$, система несовместна и не имеет решений при $p = -6/5$.

Ответ: если $p \neq -6/5$, то решение единственно: $x = -\frac{16}{5p+6}$, $y = \frac{7p+2}{5p+6}$; если $p = -6/5$, то система не имеет решений.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 8x - 9y + 4 = 0 \\ 4x - py + 2 = 0 \end{cases}$

Перепишем ее в стандартном виде:

$\begin{cases} 8x - 9y = -4 \\ 4x - py = -2 \end{cases}$

Найдем главный определитель системы $\Delta$.

$\Delta = \begin{vmatrix} 8 & -9 \\ 4 & -p \end{vmatrix} = 8 \cdot (-p) - (-9) \cdot 4 = -8p + 36$

Система имеет единственное решение, если $\Delta \neq 0$.

$-8p + 36 \neq 0 \implies 8p \neq 36 \implies p \neq \frac{36}{8} \implies p \neq \frac{9}{2}$

Если $p \neq 9/2$, найдем решение. Вычислим вспомогательные определители $\Delta_x$ и $\Delta_y$.

$\Delta_x = \begin{vmatrix} -4 & -9 \\ -2 & -p \end{vmatrix} = (-4) \cdot (-p) - (-9) \cdot (-2) = 4p - 18$

$\Delta_y = \begin{vmatrix} 8 & -4 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = 8 \cdot (-2) - (-4) \cdot 4 = -16 + 16 = 0$

Тогда переменные $x$ и $y$ равны:

$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{4p - 18}{-8p + 36} = \frac{2(2p - 9)}{-4(2p - 9)}$

Так как $p \neq 9/2$, то $2p-9 \neq 0$, и мы можем сократить дробь:

$x = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{0}{-8p + 36} = 0$

Таким образом, при $p \neq 9/2$ система имеет единственное решение: $(-1/2, 0)$.

Теперь рассмотрим случай, когда $\Delta = 0$, то есть $p = 9/2$.

При $p = 9/2$ также проверим значение $\Delta_x$:

$\Delta_x = 4 \cdot \frac{9}{2} - 18 = 18 - 18 = 0$

Поскольку $\Delta = 0$, $\Delta_x = 0$ и $\Delta_y = 0$, система имеет бесконечно много решений. Подставим $p = 9/2$ во второе уравнение системы:

$4x - \frac{9}{2}y = -2$

Умножим это уравнение на 2:

$8x - 9y = -4$

Это уравнение идентично первому уравнению системы. Следовательно, все решения лежат на прямой $8x - 9y = -4$. Выразим $y$ через $x$:

$9y = 8x + 4 \implies y = \frac{8x + 4}{9}$

Множество решений можно записать в виде $(t, \frac{8t+4}{9})$, где $t$ - любое действительное число.

Ответ: если $p \neq 9/2$, то решение единственно: $x = -1/2$, $y = 0$; если $p = 9/2$, то система имеет бесконечно много решений вида $(t, \frac{8t+4}{9})$, где $t \in \mathbb{R}$.