Номер 42, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42. Графики каких линейных функций: $y = 4x + 8$; $y = -5x + 11$; $y = 4x$; $y = 5x$; $y = 7x - 0.5$; $y = -6x - 0.5$; $y = 1.5x + 2$; $y = -9 + 1.5x$; $y = x - 4$; $y = 8 + 6x$:

1) пересекаются;

2) параллельны;

3) совпадают?

Для анализа взаимного расположения графиков линейных функций вида $y = kx + b$ необходимо сравнить их угловые коэффициенты $k$ и свободные члены $b$.

— Графики пересекаются, если их угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$).

— Графики параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны ($k_1 = k_2$, $b_1 \neq b_2$).

— Графики совпадают, если их угловые коэффициенты и свободные члены равны ($k_1 = k_2$, $b_1 = b_2$).

Проанализируем данные функции, предварительно записав их в стандартном виде $y = kx + b$ и определив их коэффициенты:

• $y = 4x + 8$: $k=4, b=8$

• $y = -5x + 11$: $k=-5, b=11$

• $y = 4x$: $k=4, b=0$

• $y = 5x$: $k=5, b=0$

• $y = 7x - 0,5$: $k=7, b=-0,5$

• $y = -6x - 0,5$: $k=-6, b=-0,5$

• $y = 1,5x + 2$: $k=1,5, b=2$

• $y = -9 + 1,5x$ (то есть $y = 1,5x - 9$): $k=1,5, b=-9$

• $y = x - 4$: $k=1, b=-4$

• $y = 8 + 6x$ (то есть $y = 6x + 8$): $k=6, b=8$

1) пересекаются

Графики пересекаются, если их угловые коэффициенты $k$ не равны. Это условие выполняется для любой пары функций с разными значениями $k$. Приведем несколько примеров:

• Пара $y = 4x + 8$ ($k=4$) и $y = -5x + 11$ ($k=-5$). Так как $4 \neq -5$, их графики пересекаются.

• Пара $y = 5x$ ($k=5$) и $y = 7x - 0,5$ ($k=7$). Так как $5 \neq 7$, их графики пересекаются.

• Пара $y = x - 4$ ($k=1$) и $y = 8 + 6x$ ($k=6$). Так как $1 \neq 6$, их графики пересекаются.

Ответ: Пересекаются все пары графиков, у которых угловые коэффициенты не совпадают, например, графики функций $y = 4x + 8$ и $y = 5x$.

2) параллельны

Графики параллельны, если их угловые коэффициенты $k$ равны, а свободные члены $b$ различны. Найдем такие пары среди данных функций:

• Пара функций с $k=4$: $y = 4x + 8$ ($b=8$) и $y = 4x$ ($b=0$). У них $k_1=k_2=4$ и $b_1 \neq b_2$ ($8 \neq 0$), следовательно, их графики параллельны.

• Пара функций с $k=1,5$: $y = 1,5x + 2$ ($b=2$) и $y = -9 + 1,5x$ ($b=-9$). У них $k_1=k_2=1,5$ и $b_1 \neq b_2$ ($2 \neq -9$), следовательно, их графики также параллельны.

Ответ: Графики функций $y = 4x + 8$ и $y = 4x$; графики функций $y = 1,5x + 2$ и $y = -9 + 1,5x$.

3) совпадают

Графики совпадают, если у них равны и угловые коэффициенты $k$, и свободные члены $b$. Сравнив все функции из списка, мы видим, что нет ни одной пары функций, у которой одновременно совпадали бы и коэффициент $k$, и коэффициент $b$.

Ответ: Среди предложенных функций нет таких, графики которых совпадают.