Номер 46, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точку $M(-5; 4)$ и параллелен графику функции $y = \frac{1}{3}x + 7$, и постройте ее график. Найдите значения аргумента составленной линейной функции, для которых значения функции:

1) положительные;

2) отрицательные.

Общий вид линейной функции задается формулой $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член.

По условию, график искомой функции параллелен графику функции $y = 1\frac{1}{3}x + 7$.

Сначала приведем уравнение к стандартному виду. $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Таким образом, данная функция имеет вид $y = \frac{4}{3}x + 7$.

Условие параллельности прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Следовательно, для нашей функции угловой коэффициент $k$ также будет равен $\frac{4}{3}$.

Таким образом, формула искомой функции принимает вид $y = \frac{4}{3}x + b$.

Чтобы найти коэффициент $b$, воспользуемся тем, что график функции проходит через точку $M(-5; 4)$. Это означает, что при подстановке координат точки в уравнение функции мы получим верное равенство.

Подставим $x = -5$ и $y = 4$:

$4 = \frac{4}{3}(-5) + b$

$4 = -\frac{20}{3} + b$

$b = 4 + \frac{20}{3}$

$b = \frac{12}{3} + \frac{20}{3}$

$b = \frac{32}{3}$

Итак, искомая линейная функция задается формулой $y = \frac{4}{3}x + \frac{32}{3}$.

Построение графика:

Для построения графика линейной функции (прямой) достаточно двух точек. Одна точка у нас уже есть: $M(-5; 4)$.

Найдем вторую точку, например, точку пересечения с осью OY. Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = \frac{4}{3}(0) + \frac{32}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$.

Получили точку $(0; 10\frac{2}{3})$.

Для удобства построения найдем еще одну точку с целочисленными координатами. Найдем точку пересечения с осью OX, подставив $y=0$:

$0 = \frac{4}{3}x + \frac{32}{3}$

$-\frac{4}{3}x = \frac{32}{3}$

$-4x = 32$

$x = -8$

Получили точку $(-8; 0)$.

Теперь можно построить график, проведя прямую через точки $(-5; 4)$ и $(-8; 0)$.

Найдем значения аргумента:

1) положительные;

Значения функции положительны, когда $y > 0$.

$\frac{4}{3}x + \frac{32}{3} > 0$

Умножим обе части неравенства на 3:

$4x + 32 > 0$

$4x > -32$

$x > -8$

Ответ: $x > -8$ или $x \in (-8; +\infty)$.

2) отрицательные.

Значения функции отрицательны, когда $y < 0$.

$\frac{4}{3}x + \frac{32}{3} < 0$

$4x + 32 < 0$

$4x < -32$

$x < -8$

Ответ: $x < -8$ или $x \in (-\infty; -8)$.