Номер 51, страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51. Дан график функции $y = -\frac{2}{x}$ (рис. 6).

По графику функции найдите множество значений переменной $\text{x}$, при которых функция:

1) принимает неотрицательные значения;

2) убывает;

3) принимает значения, не меньшие 2;

4) принимает значения, меньшие (-1).

Рис. 6

1) принимает неотрицательные значения;

Чтобы найти, при каких значениях $x$ функция принимает неотрицательные значения, необходимо определить, где ее график расположен на оси $x$ или выше нее. Это соответствует условию $y \ge 0$. На предоставленном графике функции $y = -\frac{2}{x}$ видно, что ветвь, находящаяся во второй координатной четверти, полностью лежит выше оси $x$. Это означает, что для всех $x$ из этого промежутка значения $y$ положительны. Эта ветвь соответствует всем отрицательным значениям $x$. Функция не пересекает ось $x$, то есть значение $y=0$ не достигается. Поэтому условие $y \ge 0$ эквивалентно условию $y > 0$. Это соответствует всем $x$ из промежутка $(-\infty; 0)$.

Проверим это аналитически, решив неравенство:

$y \ge 0 \implies -\frac{2}{x} \ge 0$

Разделим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$\frac{2}{x} \le 0$

Так как числитель $2$ является положительным числом, дробь будет отрицательной только в том случае, если ее знаменатель $x$ отрицателен.

$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

2) убывает;

Функция является убывающей на некотором интервале, если при увеличении значения аргумента $x$ соответствующее значение функции $y$ уменьшается. Рассмотрим поведение функции на ее области определения, которая состоит из двух интервалов: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

1. На интервале $(-\infty; 0)$ (левая ветвь): при движении по графику слева направо (увеличении $x$, например, от $-4$ до $-1$) ордината $y$ увеличивается (от $0.5$ до $2$). Следовательно, на этом интервале функция возрастает.

2. На интервале $(0; +\infty)$ (правая ветвь): при движении по графику слева направо (увеличении $x$, например, от $1$ до $2$) ордината $y$ также увеличивается (от $-2$ до $-1$). Следовательно, на этом интервале функция также возрастает.

Таким образом, функция $y = -\frac{2}{x}$ возрастает на каждом из промежутков своей области определения и не имеет промежутков убывания.

Ответ: таких значений $x$ не существует.

3) принимает значения, не меньшие 2;

Требуется найти множество значений $x$, для которых выполняется неравенство $y \ge 2$. На графике это соответствует той части кривой, которая лежит на или выше горизонтальной прямой $y=2$. Найдем точку пересечения графика функции с прямой $y=2$:

$2 = -\frac{2}{x}$

$2x = -2$

$x = -1$

Из графика видно, что значения $y$ больше или равны $2$ для той части левой ветви, которая находится между точкой с абсциссой $x=-1$ и вертикальной асимптотой $x=0$. Таким образом, искомые значения $x$ находятся в промежутке $[-1; 0)$. Значение $x=-1$ включается, так как неравенство нестрогое ($y \ge 2$), а $x=0$ не включается, так как функция в этой точке не определена.

Ответ: $x \in [-1; 0)$.

4) принимает значения, меньшие (–1).

Требуется найти множество значений $x$, для которых выполняется неравенство $y < -1$. На графике это соответствует той части кривой, которая лежит ниже горизонтальной прямой $y=-1$. Найдем точку пересечения графика функции с прямой $y=-1$:

$-1 = -\frac{2}{x}$

$x = 2$

Из графика видно, что значения $y$ меньше $-1$ для той части правой ветви, которая находится между вертикальной асимптотой $x=0$ и точкой с абсциссой $x=2$. Таким образом, искомые значения $x$ находятся в промежутке $(0; 2)$. Значение $x=0$ не включается, так как это асимптота, а $x=2$ не включается, так как неравенство строгое ($y < -1$).

Проверим аналитически:

$-\frac{2}{x} < -1$

$\frac{2}{x} > 1$

$\frac{2}{x} - 1 > 0$

$\frac{2-x}{x} > 0$

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $x \in (0; 2)$.

Ответ: $x \in (0; 2)$.