Номер 45, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45. Запишите формулы четырех линейных функций и постройте их графики в одной и той же координатной плоскости, если известно, что график одной из них проходит через точки $F(3; 0)$ и $K(0; -3)$, другой — через точки $M(-6; 0)$ и $T(0; -6)$, а графики третьей и четвертой функций пересекают ось ординат в точке с ординатой, равной $\text{6}$, и параллельны, соответственно, графикам первой и второй функций.

Для решения задачи найдем последовательно формулы для каждой из четырех линейных функций вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью OY.

1. Формула первой функции

Известно, что график проходит через точки $F(3; 0)$ и $K(0; -3)$.

Поскольку график проходит через точку $K(0; -3)$, где абсцисса $x=0$, то ордината этой точки является свободным членом в уравнении функции. Таким образом, $b = -3$.

Формула функции принимает вид $y = kx - 3$.

Для нахождения углового коэффициента $k$ подставим в это уравнение координаты точки $F(3; 0)$:

$0 = k \cdot 3 - 3$

$3k = 3$

$k = 1$

Следовательно, формула первой функции: $y = x - 3$.

Ответ: $y = x - 3$

2. Формула второй функции

Известно, что график проходит через точки $M(-6; 0)$ и $T(0; -6)$.

Аналогично первой функции, из координат точки $T(0; -6)$ находим свободный член: $b = -6$.

Формула функции принимает вид $y = kx - 6$.

Для нахождения углового коэффициента $k$ подставим в это уравнение координаты точки $M(-6; 0)$:

$0 = k \cdot (-6) - 6$

$-6k = 6$

$k = -1$

Следовательно, формула второй функции: $y = -x - 6$.

Ответ: $y = -x - 6$

3. Формула третьей функции

График этой функции параллелен графику первой функции. Условием параллельности прямых является равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент первой функции $k_1 = 1$, значит, и для третьей функции $k_3 = 1$.

Также известно, что график пересекает ось ординат в точке с ординатой, равной 6. Это означает, что $b = 6$.

Подставляя найденные значения $k$ и $b$ в общую формулу, получаем: $y = 1 \cdot x + 6$.

Следовательно, формула третьей функции: $y = x + 6$.

Ответ: $y = x + 6$

4. Формула четвертой функции

График этой функции параллелен графику второй функции. Угловой коэффициент второй функции $k_2 = -1$, значит, и для четвертой функции $k_4 = -1$.

Этот график также пересекает ось ординат в точке с ординатой 6, следовательно, $b = 6$.

Подставляя найденные значения $k$ и $b$, получаем: $y = -1 \cdot x + 6$.

Следовательно, формула четвертой функции: $y = -x + 6$.

Ответ: $y = -x + 6$

Построение графиков

Для построения графиков всех четырех функций в одной координатной плоскости необходимо для каждой прямой знать две точки, через которые она проходит.

График функции $y = x - 3$ (первая функция) проходит через точки, данные в условии: $F(3; 0)$ и $K(0; -3)$.

График функции $y = -x - 6$ (вторая функция) проходит через точки, данные в условии: $M(-6; 0)$ и $T(0; -6)$.

График функции $y = x + 6$ (третья функция) проходит через точку пересечения с осью OY $(0; 6)$. Найдем точку пересечения с осью OX, приравняв $y$ к нулю: $0 = x + 6$, откуда $x = -6$. Вторая точка — $(-6; 0)$.

График функции $y = -x + 6$ (четвертая функция) проходит через точку пересечения с осью OY $(0; 6)$. Найдем точку пересечения с осью OX: $0 = -x + 6$, откуда $x = 6$. Вторая точка — $(6; 0)$.

Для построения нужно начертить оси координат, отметить на них найденные точки: $F(3; 0)$, $K(0; -3)$, $M(-6; 0)$, $T(0; -6)$, $(0; 6)$ и $(6; 0)$, а затем провести прямые линии через соответствующие пары точек.