Номер 41, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41. С помощью графика функции, изображенного на рисунке 1, найдите:

1) область ее определения;

2) значения аргумента $\text{x}$, для которых функция возрастает;

3) значения аргумента $\text{x}$, для которых функция убывает;

4) координаты точек $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, $\text{D}$;

5) координаты точек пересечения графика с осями координат;

6) запишите уравнения, графиками которых являются прямые $AB$, $BC$, $CD$.

Рис. 1

1) область ее определения;Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной $x$), при которых функция определена. Глядя на график, мы видим, что он существует для всех значений $x$ от абсциссы точки A до абсциссы точки D. Абсцисса точки A равна -4, а абсцисса точки D равна 3. Таким образом, область определения — это отрезок от -4 до 3.Ответ: $x \in [-4; 3]$.

2) значения аргумента x, для которых функция возрастает;Функция возрастает на тех промежутках, где её график при движении слева направо идёт вверх. На данном графике это происходит на отрезках AB и BC. Это соответствует значениям аргумента $x$ от -4 (абсцисса точки A) до 1 (абсцисса точки C).Ответ: $x \in [-4; 1]$.

3) значения аргумента x, для которых функция убывает;Функция убывает на тех промежутках, где её график при движении слева направо идёт вниз. Это происходит на отрезке CD. Это соответствует значениям аргумента $x$ от 1 (абсцисса точки C) до 3 (абсцисса точки D).Ответ: $x \in [1; 3]$.

4) координаты точек A, B, C, D;Определяем координаты точек по клеткам координатной плоскости, где одна клетка соответствует одной единице.Точка A имеет координаты $(-4, -2)$.Точка B имеет координаты $(-2, -1)$.Точка C имеет координаты $(1, 2)$.Точка D имеет координаты $(3, -3)$.Ответ: A(-4; -2), B(-2; -1), C(1; 2), D(3; -3).

5) координаты точек пересечения графика с осями координат;Точка пересечения с осью ординат (Oy) — это точка, где $x=0$. По графику видно, что при $x=0$, $y=1$. Координаты этой точки (0; 1).Точки пересечения с осью абсцисс (Ox) — это точки, где $y=0$. На графике видно две такие точки. Одна находится на отрезке BC и имеет координаты (-1; 0). Вторую точку на отрезке CD найдем с помощью уравнения прямой CD (см. пункт 6): $y = -2.5x + 4.5$. Положим $y=0$: $0 = -2.5x + 4.5$, отсюда $2.5x = 4.5$, $x = 4.5 / 2.5 = 1.8$. Координаты второй точки (1.8; 0).Ответ: с осью Ox: (-1; 0) и (1.8; 0); с осью Oy: (0; 1).

6) запишите уравнения, графиками которых являются прямые AB, BC, CD.Уравнение прямой имеет вид $y=kx+b$. Для каждой прямой найдем угловой коэффициент $k$ по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, а затем найдем $b$, подставив координаты одной из точек.Прямая AB: проходит через A(-4; -2) и B(-2; -1).$k = \frac{-1 - (-2)}{-2 - (-4)} = \frac{1}{2} = 0.5$.Подставим точку B: $-1 = 0.5 \cdot (-2) + b \Rightarrow -1 = -1 + b \Rightarrow b = 0$. Уравнение: $y = 0.5x$.Прямая BC: проходит через B(-2; -1) и C(1; 2).$k = \frac{2 - (-1)}{1 - (-2)} = \frac{3}{3} = 1$.Подставим точку C: $2 = 1 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 1$. Уравнение: $y = x+1$.Прямая CD: проходит через C(1; 2) и D(3; -3).$k = \frac{-3 - 2}{3 - 1} = \frac{-5}{2} = -2.5$.Подставим точку C: $2 = -2.5 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 4.5$. Уравнение: $y = -2.5x + 4.5$.Ответ: AB: $y = 0.5x$; BC: $y = x+1$; CD: $y = -2.5x+4.5$.