Номер 37, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37. При каких значениях переменной у меньше нуля значение разности двух выражений:

1) $y^2 - 16$ и $8y + y^2$;

2) $5y^3 + 10y$ и $17 + 5y^3$;

3) $(1 - y)^2 + 13$ и $y^2 - 6$;

4) $87 + y^2$ и $(y - 3)^2 - 5?$

1) Чтобы найти значения переменной $y$, при которых значение разности выражений $y^2 - 16$ и $8y + y^2$ меньше нуля, необходимо составить и решить неравенство. Разность первого и второго выражения должна быть меньше нуля:

$(y^2 - 16) - (8y + y^2) < 0$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$y^2 - 16 - 8y - y^2 < 0$

Приведем подобные слагаемые ($y^2$ и $-y^2$ взаимно уничтожаются):

$-16 - 8y < 0$

Перенесем число $-16$ в правую часть неравенства, изменив его знак:

$-8y < 16$

Разделим обе части неравенства на $-8$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$y > \frac{16}{-8}$

$y > -2$

Ответ: при $y > -2$.

2) Найдем значения переменной $y$, при которых разность выражений $5y^3 + 10y$ и $17 + 5y^3$ меньше нуля. Составим и решим неравенство:

$(5y^3 + 10y) - (17 + 5y^3) < 0$

Раскроем скобки:

$5y^3 + 10y - 17 - 5y^3 < 0$

Приведем подобные слагаемые ($5y^3$ и $-5y^3$ взаимно уничтожаются):

$10y - 17 < 0$

Перенесем число $-17$ в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$10y < 17$

Разделим обе части неравенства на $10$:

$y < \frac{17}{10}$

$y < 1.7$

Ответ: при $y < 1.7$.

3) Найдем значения переменной $y$, при которых разность выражений $(1 - y)^2 + 13$ и $y^2 - 6$ меньше нуля. Составим и решим неравенство:

$((1 - y)^2 + 13) - (y^2 - 6) < 0$

Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и раскроем скобки:

$(1 - 2y + y^2 + 13) - y^2 + 6 < 0$

Сгруппируем слагаемые в первых скобках и уберем их:

$y^2 - 2y + 14 - y^2 + 6 < 0$

Приведем подобные слагаемые ($y^2$ и $-y^2$ взаимно уничтожаются, $14+6=20$):

$-2y + 20 < 0$

Перенесем число $20$ в правую часть неравенства:

$-2y < -20$

Разделим обе части неравенства на $-2$, изменив знак неравенства на противоположный:

$y > \frac{-20}{-2}$

$y > 10$

Ответ: при $y > 10$.

4) Найдем значения переменной $y$, при которых разность выражений $87 + y^2$ и $(y - 3)^2 - 5$ меньше нуля. Составим и решим неравенство:

$(87 + y^2) - ((y - 3)^2 - 5) < 0$

Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(87 + y^2) - (y^2 - 6y + 9 - 5) < 0$

Выполним вычитание в скобках:

$(87 + y^2) - (y^2 - 6y + 4) < 0$

Раскроем скобки:

$87 + y^2 - y^2 + 6y - 4 < 0$

Приведем подобные слагаемые ($y^2$ и $-y^2$ взаимно уничтожаются, $87-4=83$):

$83 + 6y < 0$

Перенесем число $83$ в правую часть неравенства:

$6y < -83$

Разделим обе части неравенства на $6$:

$y < -\frac{83}{6}$

Можно представить ответ в виде смешанной дроби: $y < -13\frac{5}{6}$.

Ответ: при $y < -\frac{83}{6}$.