Номер 32, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32. Решите систему уравнений графическим способом:

1)

$\begin{cases} 2.25x+2y=3, \\ 2x+y=5; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 3x-y=5, \\ 2x+y=10. \end{cases}$

1) Чтобы решить систему уравнений графически, нужно построить графики обоих уравнений в одной системе координат. Координаты точки пересечения графиков будут решением системы.

Каждое уравнение в системе является линейным, поэтому его график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек.

Рассмотрим первое уравнение: $2,25x + 2y = 3$. Выразим $y$ через $x$: $2y = 3 - 2,25x$, откуда $y = -1,125x + 1,5$.

Найдем координаты двух точек этой прямой:

При $x = 0$, $y = -1,125 \cdot 0 + 1,5 = 1,5$. Первая точка: $(0; 1,5)$.

При $x = 4$, $y = -1,125 \cdot 4 + 1,5 = -4,5 + 1,5 = -3$. Вторая точка: $(4; -3)$.

Рассмотрим второе уравнение: $2x + y = 5$. Выразим $y$ через $x$: $y = -2x + 5$.

Найдем координаты двух точек этой прямой:

При $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 + 5 = 5$. Первая точка: $(0; 5)$.

При $x = 2$, $y = -2 \cdot 2 + 5 = 1$. Вторая точка: $(2; 1)$.

Теперь построим два графика на одной координатной плоскости. Первая прямая проходит через точки $(0; 1,5)$ и $(4; -3)$. Вторая прямая проходит через точки $(0; 5)$ и $(2; 1)$.

Построив графики, мы увидим, что прямые пересекаются в точке с координатами $(4; -3)$. Это и есть решение системы.

Для проверки подставим значения $x=4$ и $y=-3$ в исходные уравнения:

$2,25 \cdot 4 + 2 \cdot (-3) = 9 - 6 = 3$ (верно)

$2 \cdot 4 + (-3) = 8 - 3 = 5$ (верно)

Ответ: $(4; -3)$.

2) Аналогично решим вторую систему. Построим графики для каждого уравнения.

Рассмотрим первое уравнение: $3x - y = 5$. Выразим $y$ через $x$: $-y = 5 - 3x$, откуда $y = 3x - 5$.

Найдем координаты двух точек этой прямой:

При $x = 2$, $y = 3 \cdot 2 - 5 = 1$. Первая точка: $(2; 1)$.

При $x = 3$, $y = 3 \cdot 3 - 5 = 4$. Вторая точка: $(3; 4)$.

Рассмотрим второе уравнение: $2x + y = 10$. Выразим $y$ через $x$: $y = -2x + 10$.

Найдем координаты двух точек этой прямой:

При $x = 3$, $y = -2 \cdot 3 + 10 = 4$. Первая точка: $(3; 4)$.

При $x = 5$, $y = -2 \cdot 5 + 10 = 0$. Вторая точка: $(5; 0)$.

Построим графики функций $y = 3x - 5$ и $y = -2x + 10$ на одной координатной плоскости. Первая прямая проходит через точки $(2; 1)$ и $(3; 4)$. Вторая прямая проходит через точки $(3; 4)$ и $(5; 0)$.

Обе прямые проходят через точку $(3; 4)$, следовательно, это и есть точка их пересечения. Координаты этой точки являются решением системы.

Проверим подстановкой $x=3$ и $y=4$ в исходные уравнения:

$3 \cdot 3 - 4 = 9 - 4 = 5$ (верно)

$2 \cdot 3 + 4 = 6 + 4 = 10$ (верно)

Ответ: $(3; 4)$.