Номер 28, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите, что при допустимых значениях переменной не зависят от переменной значения выражений (27-28) :

28. 1) $\left(\frac{20a}{25-a^2} + \frac{5-a}{a+5}\right) : \left(\frac{a+5}{5} - \frac{5}{5-a}\right);$

2) $\left(\frac{28c}{c^2-49} + \frac{c-7}{c+7}\right) \cdot \left(\frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7}\right).$

1) Требуется доказать, что значение выражения $(\frac{20a}{25-a^2} + \frac{5-a}{a+5}) : \frac{a+5}{5} - \frac{5}{5-a}$ не зависит от переменной a при допустимых значениях.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной a. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$25 - a^2 \neq 0 \Rightarrow (5-a)(5+a) \neq 0 \Rightarrow a \neq 5$ и $a \neq -5$.

$a+5 \neq 0 \Rightarrow a \neq -5$.

$5-a \neq 0 \Rightarrow a \neq 5$.

Делитель также не может быть равен нулю:

$\frac{a+5}{5} \neq 0 \Rightarrow a+5 \neq 0 \Rightarrow a \neq -5$.

Таким образом, ОДЗ: $a \neq \pm 5$.

Упростим выражение по действиям, соблюдая их порядок: сначала действия в скобках, затем деление, затем вычитание.

1. Выполним сложение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $25-a^2 = (5-a)(5+a)$.

$\frac{20a}{25 - a^2} + \frac{5 - a}{a + 5} = \frac{20a}{(5-a)(a+5)} + \frac{(5-a)(5-a)}{(a+5)(5-a)}$

$\frac{20a + (5-a)^2}{(5-a)(a+5)} = \frac{20a + 25 - 10a + a^2}{(5-a)(a+5)} = \frac{a^2 + 10a + 25}{(5-a)(a+5)}$

Числитель является полным квадратом: $a^2 + 10a + 25 = (a+5)^2$.

$\frac{(a+5)^2}{(5-a)(a+5)} = \frac{a+5}{5-a}$

2. Теперь выполним деление результата первого действия на дробь $\frac{a+5}{5}$.

$(\frac{a+5}{5-a}) : \frac{a+5}{5} = \frac{a+5}{5-a} \cdot \frac{5}{a+5}$

Сократим на $(a+5)$, так как по ОДЗ $a \neq -5$.

$\frac{5}{5-a}$

3. Выполним вычитание.

$\frac{5}{5-a} - \frac{5}{5-a} = 0$

Результат упрощения выражения равен 0. Это константа, которая не зависит от значения переменной a. Что и требовалось доказать.

Ответ: 0.

2) Требуется доказать, что значение выражения $(\frac{28c}{c^2-49} + \frac{c-7}{c+7}) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7}$ не зависит от переменной c при допустимых значениях.

Определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной c. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$c^2 - 49 \neq 0 \Rightarrow (c-7)(c+7) \neq 0 \Rightarrow c \neq 7$ и $c \neq -7$.

$c+7 \neq 0 \Rightarrow c \neq -7$.

$c-7 \neq 0 \Rightarrow c \neq 7$.

Таким образом, ОДЗ: $c \neq \pm 7$.

Упростим выражение по действиям: сначала действие в скобках, затем умножение, затем вычитание.

1. Выполним сложение в скобках. Общий знаменатель $c^2-49 = (c-7)(c+7)$.

$\frac{28c}{c^2-49} + \frac{c-7}{c+7} = \frac{28c}{(c-7)(c+7)} + \frac{(c-7)(c-7)}{(c+7)(c-7)}$

$\frac{28c + (c-7)^2}{(c-7)(c+7)} = \frac{28c + c^2 - 14c + 49}{(c-7)(c+7)} = \frac{c^2 + 14c + 49}{(c-7)(c+7)}$

Числитель является полным квадратом: $c^2 + 14c + 49 = (c+7)^2$.

$\frac{(c+7)^2}{(c-7)(c+7)} = \frac{c+7}{c-7}$

2. Теперь выполним умножение результата первого действия на дробь $\frac{c}{c+7}$.

$(\frac{c+7}{c-7}) \cdot \frac{c}{c+7}$

Сократим на $(c+7)$, так как по ОДЗ $c \neq -7$.

$\frac{c}{c-7}$

3. Выполним вычитание.

$\frac{c}{c-7} - \frac{c}{c-7} = 0$

Результат упрощения выражения равен 0. Это значение не зависит от переменной c. Что и требовалось доказать.

Ответ: 0.