Номер 30, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (29-31):

30. 1) $(x-\frac{1}{2})^2 = 7\frac{1}{4} + x^2;$

2) $2-(\frac{1}{64} + x^2) = -(x-\frac{1}{8})^2;$

3) $27 + 25x^2 + 2.7^2 = 7.29 + 5x(5x - 5.4);$

4) $\frac{1}{49} x^2 - 7(-x-\frac{2}{7}) = -61 + (-\frac{1}{7} x)^2.$

1) $(x-\frac{1}{2})^2 = 7\frac{1}{4} + x^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Смешанное число в правой части представим в виде неправильной дроби $7\frac{1}{4} = \frac{7 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{29}{4}$.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = \frac{29}{4} + x^2$

$x^2 - x + \frac{1}{4} = \frac{29}{4} + x^2$

Перенесем слагаемые с $x^2$ в одну сторону, а остальные — в другую. Члены с $x^2$ взаимно уничтожатся.

$x^2 - x^2 - x = \frac{29}{4} - \frac{1}{4}$

$-x = \frac{28}{4}$

$-x = 7$

$x = -7$

Ответ: $-7$

2) $2-(\frac{1}{64}+x^2) = -(x-\frac{1}{8})^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В правой части используем формулу квадрата разности.

$2 - \frac{1}{64} - x^2 = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{8} + (\frac{1}{8})^2)$

$2 - \frac{1}{64} - x^2 = -(x^2 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{64})$

$2 - \frac{1}{64} - x^2 = -x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{1}{64}$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую. Слагаемые $-x^2$ и $-\frac{1}{64}$ присутствуют в обеих частях и при переносе взаимно уничтожатся.

$-x^2 + x^2 - \frac{1}{4}x = \frac{1}{64} - \frac{1}{64} - 2$

$-\frac{1}{4}x = -2$

Домножим обе части уравнения на $-4$, чтобы найти $x$.

$x = (-2) \cdot (-4)$

$x = 8$

Ответ: $8$

3) $27 + 25x^2 + 2,7^2 = 7,29 + 5x(5x-5,4)$

Выполним вычисления и раскроем скобки.

Возведем в квадрат $2,7$: $2,7^2 = 7,29$.

Раскроем скобки в правой части: $5x(5x-5,4) = 25x^2 - 5x \cdot 5,4 = 25x^2 - 27x$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение.

$27 + 25x^2 + 7,29 = 7,29 + 25x^2 - 27x$

Сгруппируем члены с $x$ и без $x$. Заметим, что слагаемые $25x^2$ и $7,29$ есть в обеих частях, они взаимно уничтожатся.

$25x^2 - 25x^2 + 27x = 7,29 - 7,29 - 27$

$27x = -27$

$x = \frac{-27}{27}$

$x = -1$

Ответ: $-1$

4) $\frac{1}{49}x^2 - 7(-x-\frac{2}{7}) = -61 + (-\frac{1}{7}x)^2$

Упростим обе части уравнения.

В левой части раскроем скобки: $-7(-x-\frac{2}{7}) = 7x + 7 \cdot \frac{2}{7} = 7x + 2$.

В правой части возведем в квадрат: $(-\frac{1}{7}x)^2 = (\frac{1}{7})^2 x^2 = \frac{1}{49}x^2$.

Подставим упрощенные выражения в уравнение.

$\frac{1}{49}x^2 + 7x + 2 = -61 + \frac{1}{49}x^2$

Слагаемые $\frac{1}{49}x^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются.

$7x + 2 = -61$

Перенесем $2$ в правую часть.

$7x = -61 - 2$

$7x = -63$

Найдем $x$.

$x = \frac{-63}{7}$

$x = -9$

Ответ: $-9$