Номер 24, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24. Упростите выражение:

1) $\frac{3x^2}{5y^3} : \frac{27x^5}{2y^4} \cdot \frac{5y}{3(x-1)};$

2) $\frac{25a(b-1)}{3^2 d} : \frac{5cd^2}{9ab} : \frac{a^3 (b-1)}{c^3 d};$

3) $\frac{28p^4}{15q^3} \cdot \frac{5q^2 (p+1)}{14p^2} : \frac{3p^2}{4q^4};$

4) $\frac{8x^3 y^4}{13ab^2} : \frac{4xy^2}{13a^2 b} : \frac{2x^2 (y+2)}{ab}.$

1) Чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить действия в том порядке, в котором они записаны: сначала деление, затем умножение. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

Исходное выражение: $ \frac{3x^2}{5y^3} : \frac{27x^5}{2y^4} \cdot \frac{5y}{3(x-1)} $

Сначала выполним деление:

$ \frac{3x^2}{5y^3} : \frac{27x^5}{2y^4} = \frac{3x^2}{5y^3} \cdot \frac{2y^4}{27x^5} $

Сократим полученную дробь. $27 = 3 \cdot 9$, $\frac{x^2}{x^5} = \frac{1}{x^3}$, $\frac{y^4}{y^3} = y$.

$ \frac{3x^2 \cdot 2y^4}{5y^3 \cdot 27x^5} = \frac{2y}{5 \cdot 9x^3} = \frac{2y}{45x^3} $

Теперь умножим результат на третью дробь:

$ \frac{2y}{45x^3} \cdot \frac{5y}{3(x-1)} = \frac{2y \cdot 5y}{45x^3 \cdot 3(x-1)} $

Сократим множители. $45 = 5 \cdot 9$.

$ \frac{2y \cdot 5y}{9 \cdot 5 \cdot x^3 \cdot 3(x-1)} = \frac{2y^2}{9x^3 \cdot 3(x-1)} = \frac{2y^2}{27x^3(x-1)} $

Ответ: $ \frac{2y^2}{27x^3(x-1)} $

2) В данном выражении два действия деления. Выполняем их последовательно слева направо. Заменяем каждое деление на умножение на обратную дробь. Заметим, что $3^2=9$.

Исходное выражение: $ \frac{25a(b-1)}{3^2d} : \frac{5cd^2}{9ab} : \frac{a^3(b-1)}{c^3d} = \frac{25a(b-1)}{9d} : \frac{5cd^2}{9ab} : \frac{a^3(b-1)}{c^3d} $

Преобразуем все деления в умножения:

$ \frac{25a(b-1)}{9d} \cdot \frac{9ab}{5cd^2} \cdot \frac{c^3d}{a^3(b-1)} $

Запишем все множители в одну дробь и произведем сокращение:

$ \frac{25 \cdot 9 \cdot a \cdot (b-1) \cdot a \cdot b \cdot c^3 \cdot d}{9 \cdot d \cdot 5 \cdot c \cdot d^2 \cdot a^3 \cdot (b-1)} = \frac{25 \cdot 9 \cdot a^2 b c^3 d (b-1)}{45 a^3 c d^3 (b-1)} $

Сокращаем числовые коэффициенты ($\frac{25 \cdot 9}{45} = \frac{225}{45}=5$), переменные ($ \frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a} $, $ \frac{c^3}{c} = c^2 $, $ \frac{d}{d^3} = \frac{1}{d^2} $) и общий множитель $ (b-1) $.

Получаем: $ \frac{5bc^2}{ad^2} $

Ответ: $ \frac{5bc^2}{ad^2} $

3) Сначала выполним умножение, а затем деление.

Исходное выражение: $ \frac{28p^4}{15q^3} \cdot \frac{5q^2(p+1)}{14p^2} : \frac{3p^2}{4q^4} $

Выполняем умножение:

$ \frac{28p^4}{15q^3} \cdot \frac{5q^2(p+1)}{14p^2} = \frac{28 \cdot 5 \cdot p^4 \cdot q^2 \cdot (p+1)}{15 \cdot 14 \cdot q^3 \cdot p^2} $

Сокращаем: $\frac{28}{14}=2$, $\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$, $\frac{p^4}{p^2}=p^2$, $\frac{q^2}{q^3}=\frac{1}{q}$.

$ \frac{2 \cdot p^2 \cdot (p+1)}{3 \cdot q} = \frac{2p^2(p+1)}{3q} $

Теперь выполним деление, умножив на обратную дробь:

$ \frac{2p^2(p+1)}{3q} : \frac{3p^2}{4q^4} = \frac{2p^2(p+1)}{3q} \cdot \frac{4q^4}{3p^2} $

Сокращаем $p^2$ и $q$:

$ \frac{2(p+1) \cdot 4q^3}{3 \cdot 3} = \frac{8q^3(p+1)}{9} $

Ответ: $ \frac{8q^3(p+1)}{9} $

4) Выполним деления последовательно слева направо, заменяя их умножением на обратные дроби.

Исходное выражение: $ \frac{8x^3y^4}{13ab^2} : \frac{4xy^2}{13a^2b} : \frac{2x^2(y+2)}{ab} $

Преобразуем в умножение:

$ \frac{8x^3y^4}{13ab^2} \cdot \frac{13a^2b}{4xy^2} \cdot \frac{ab}{2x^2(y+2)} $

Запишем все множители в одну дробь:

$ \frac{8 \cdot 13 \cdot a \cdot b \cdot x^3 y^4 a^2 b}{13 \cdot 4 \cdot 2 \cdot a b^2 x y^2 x^2 (y+2)} = \frac{104 a^3 b^2 x^3 y^4}{104 a b^2 x^3 y^2 (y+2)} $

Сокращаем одинаковые множители: числовой коэффициент 104, $b^2$, $x^3$.

Сокращаем степени переменных: $ \frac{a^3}{a} = a^2 $ и $ \frac{y^4}{y^2} = y^2 $.

В результате получаем:

$ \frac{a^2y^2}{y+2} $

Ответ: $ \frac{a^2y^2}{y+2} $