Номер 23, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23. Докажите тождество:

$\frac{5a^2 - 10}{a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2} = \frac{6}{(a+1)^2} - \frac{1}{(a+1)^2}$

Для доказательства тождества преобразуем отдельно его левую и правую части и сравним полученные выражения.

Сначала преобразуем правую часть. Так как у дробей одинаковый знаменатель, вычтем их числители:

$ \frac{6}{(a+1)^2} - \frac{1}{(a+1)^2} = \frac{6-1}{(a+1)^2} = \frac{5}{(a+1)^2} $

Теперь преобразуем левую часть. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Разложим на множители числитель, вынеся общий множитель 5 за скобки:

$ 5a^2 - 10 = 5(a^2 - 2) $

Разложим на множители знаменатель $ a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2 $. Для этого сгруппируем слагаемые, представив $ -a^2 $ как $ +a^2 - 2a^2 $:

$ a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2 = (a^4 + 2a^3 + a^2) - 2a^2 - 4a - 2 $

В первых трех слагаемых выделим полный квадрат, а в оставшихся вынесем за скобки общий множитель $-2$:

$ (a^2(a^2 + 2a + 1)) - (2a^2 + 4a + 2) = a^2(a+1)^2 - 2(a^2 + 2a + 1) $

Выражение $ a^2 + 2a + 1 $ является общим множителем, равным $ (a+1)^2 $. Вынесем его за скобки:

$ a^2(a+1)^2 - 2(a+1)^2 = (a+1)^2(a^2 - 2) $

Таким образом, левая часть тождества принимает вид:

$ \frac{5a^2 - 10}{a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2} = \frac{5(a^2 - 2)}{(a+1)^2(a^2 - 2)} $

Сократим полученную дробь на общий множитель $ (a^2 - 2) $, при условии, что он не равен нулю (т.е. при $ a \neq \pm\sqrt{2} $):

$ \frac{5(a^2 - 2)}{(a+1)^2(a^2 - 2)} = \frac{5}{(a+1)^2} $

В результате преобразований мы получили, что левая часть равна $ \frac{5}{(a+1)^2} $ и правая часть равна $ \frac{5}{(a+1)^2} $. Поскольку обе части тождества равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.