Номер 25, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25. Если $x = \frac{2n}{n-2}$, то найдите значение выражения:

1) $\frac{x-3}{2x+n}$;

2) $\frac{2x-4n}{x+2n} + \frac{1}{2x}$;

3) $\frac{3x-3}{(2-n)x+n} - \frac{x-3}{2x-3n}$.

Дано соотношение $x = \frac{2n}{n-2}$.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{x-3}{2x+n}$, подставим в него $x = \frac{2n}{n-2}$.

Сначала преобразуем числитель дроби:

$x - 3 = \frac{2n}{n-2} - 3 = \frac{2n - 3(n-2)}{n-2} = \frac{2n - 3n + 6}{n-2} = \frac{6-n}{n-2}$

Теперь преобразуем знаменатель:

$2x + n = 2 \cdot \frac{2n}{n-2} + n = \frac{4n}{n-2} + \frac{n(n-2)}{n-2} = \frac{4n + n^2 - 2n}{n-2} = \frac{n^2 + 2n}{n-2} = \frac{n(n+2)}{n-2}$

Теперь найдем значение всего выражения, разделив преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{x-3}{2x+n} = \frac{\frac{6-n}{n-2}}{\frac{n(n+2)}{n-2}} = \frac{6-n}{n-2} \cdot \frac{n-2}{n(n+2)} = \frac{6-n}{n(n+2)}$

Ответ: $\frac{6-n}{n(n+2)}$

2) Найдем значение выражения $\frac{2x-4n}{x+2n} + \frac{1}{2x}$, подставив $x = \frac{2n}{n-2}$.

Сначала рассмотрим первое слагаемое $\frac{2x-4n}{x+2n}$.

Преобразуем его числитель:

$2x-4n = 2 \cdot \frac{2n}{n-2} - 4n = \frac{4n - 4n(n-2)}{n-2} = \frac{4n-4n^2+8n}{n-2} = \frac{12n-4n^2}{n-2} = \frac{4n(3-n)}{n-2}$

Преобразуем его знаменатель:

$x+2n = \frac{2n}{n-2} + 2n = \frac{2n + 2n(n-2)}{n-2} = \frac{2n+2n^2-4n}{n-2} = \frac{2n^2-2n}{n-2} = \frac{2n(n-1)}{n-2}$

Таким образом, первое слагаемое равно:

$\frac{\frac{4n(3-n)}{n-2}}{\frac{2n(n-1)}{n-2}} = \frac{4n(3-n)}{2n(n-1)} = \frac{2(3-n)}{n-1}$

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

$\frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \cdot \frac{2n}{n-2}} = \frac{1}{\frac{4n}{n-2}} = \frac{n-2}{4n}$

Наконец, сложим полученные выражения:

$\frac{2(3-n)}{n-1} + \frac{n-2}{4n} = \frac{8n(3-n) + (n-1)(n-2)}{4n(n-1)} = \frac{24n-8n^2 + n^2-3n+2}{4n(n-1)} = \frac{-7n^2+21n+2}{4n(n-1)}$

Ответ: $\frac{-7n^2+21n+2}{4n(n-1)}$

3) Найдем значение выражения $\frac{3x-3}{(2-n)x+n} - \frac{x-3}{2x-3n}$, используя $x = \frac{2n}{n-2}$.

Из исходного соотношения следует, что $x(n-2) = 2n$.

Рассмотрим знаменатель первой дроби: $(2-n)x+n = -(n-2)x+n$. Используя $x(n-2)=2n$, получаем: $-2n+n = -n$.

Таким образом, первая дробь упрощается до $\frac{3x-3}{-n} = -\frac{3(x-1)}{n}$.

Выразим $x-1$ через $n$: $x-1 = \frac{2n}{n-2} - 1 = \frac{2n-(n-2)}{n-2} = \frac{n+2}{n-2}$.

Тогда первое слагаемое равно: $-\frac{3}{n} \cdot \left(\frac{n+2}{n-2}\right) = -\frac{3(n+2)}{n(n-2)}$.

Теперь рассмотрим вторую дробь $\frac{x-3}{2x-3n}$.

Ее числитель: $x-3 = \frac{2n}{n-2}-3 = \frac{2n-3(n-2)}{n-2} = \frac{6-n}{n-2}$.

Ее знаменатель: $2x-3n = 2\left(\frac{2n}{n-2}\right)-3n = \frac{4n-3n(n-2)}{n-2} = \frac{4n-3n^2+6n}{n-2} = \frac{10n-3n^2}{n-2} = \frac{n(10-3n)}{n-2}$.

Таким образом, вторая дробь равна: $\frac{\frac{6-n}{n-2}}{\frac{n(10-3n)}{n-2}} = \frac{6-n}{n(10-3n)}$.

Теперь вычтем вторую дробь из первой:

$\frac{3x-3}{(2-n)x+n} - \frac{x-3}{2x-3n} = -\frac{3(n+2)}{n(n-2)} - \frac{6-n}{n(10-3n)}$

Это выражение можно оставить в таком виде или привести к общему знаменателю, но оно не упрощается до константы.

Ответ: $-\frac{3(n+2)}{n(n-2)} - \frac{6-n}{n(10-3n)}$