Номер 26, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26. Найдите значение выражения $(\frac{x}{y} + 1)^2 + (\frac{x}{y} - 1)^2 - 2$ при $x = 0,5$; $y = 4$.

Чтобы найти значение выражения, сначала его упростим. Обозначим $a = \frac{x}{y}$. Тогда исходное выражение примет вид:

$(a + 1)^2 + (a - 1)^2 - 2$

Применим формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(u+v)^2 = u^2+2uv+v^2$ и квадрат разности $(u-v)^2 = u^2-2uv+v^2$.

$(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$

$(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$

Подставим раскрытые скобки в выражение:

$(a^2 + 2a + 1) + (a^2 - 2a + 1) - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + a^2 + 2a - 2a + 1 + 1 - 2 = 2a^2$

Теперь вернемся к замене $a = \frac{x}{y}$. Упрощенное выражение выглядит так:

$2 \cdot \left(\frac{x}{y}\right)^2$

Подставим в него данные значения $x = 0,5$ и $y = 4$.

$2 \cdot \left(\frac{0,5}{4}\right)^2$

Вычислим значение дроби в скобках. Удобно представить $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$:

$\frac{0,5}{4} = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}$

Теперь вычислим окончательное значение:

$2 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1^2}{8^2} = 2 \cdot \frac{1}{64} = \frac{2}{64} = \frac{1}{32}$

Ответ: $\frac{1}{32}$