Номер 36, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36. При каких значениях переменной $\text{x}$ принимает неотрицательное значение выражение:

1) $5x - 16;$

2) $47 - 97x;$

3) $x^2 - 11 - x(x - 2);$

4) $x(3 + x) - x^2 - 33;$

5) $(x + 5)^2 - x^2 - 12x;$

6) $20x + x^2 - (4-x)^2?$

Чтобы найти значения переменной $x$, при которых выражение принимает неотрицательное значение, необходимо решить неравенство: выражение $\ge 0$.

1) 5x - 16

Составим и решим неравенство:

$5x - 16 \ge 0$

Перенесем $-16$ в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:

$5x \ge 16$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x \ge \frac{16}{5}$

$x \ge 3.2$

Ответ: при $x \in [3.2; +\infty)$.

2) 47 - 97x

Составим и решим неравенство:

$47 - 97x \ge 0$

Перенесем 47 в правую часть:

$-97x \ge -47$

Разделим обе части на $-97$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-47}{-97}$

$x \le \frac{47}{97}$

Ответ: при $x \in (-\infty; \frac{47}{97}]$.

3) x² - 11 - x(x - 2)

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки:

$x^2 - 11 - x(x - 2) = x^2 - 11 - x^2 + 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + 2x - 11 = 2x - 11$

Теперь решим неравенство:

$2x - 11 \ge 0$

$2x \ge 11$

$x \ge \frac{11}{2}$

$x \ge 5.5$

Ответ: при $x \in [5.5; +\infty)$.

4) x(3 + x) - x² - 33

Упростим выражение:

$x(3 + x) - x^2 - 33 = 3x + x^2 - x^2 - 33$

Приведем подобные слагаемые:

$3x + (x^2 - x^2) - 33 = 3x - 33$

Решим неравенство:

$3x - 33 \ge 0$

$3x \ge 33$

$x \ge \frac{33}{3}$

$x \ge 11$

Ответ: при $x \in [11; +\infty)$.

5) (x + 5)² - x² - 12x

Упростим выражение, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - x^2 - 12x = x^2 + 10x + 25 - x^2 - 12x$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (10x - 12x) + 25 = -2x + 25$

Решим неравенство:

$-2x + 25 \ge 0$

$-2x \ge -25$

Разделим обе части на $-2$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le \frac{-25}{-2}$

$x \le 12.5$

Ответ: при $x \in (-\infty; 12.5]$.

6) 20x + x² - (4 - x)²

Упростим выражение, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$20x + x^2 - (4^2 - 2 \cdot 4 \cdot x + x^2) = 20x + x^2 - (16 - 8x + x^2)$

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$20x + x^2 - 16 + 8x - x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(20x + 8x) + (x^2 - x^2) - 16 = 28x - 16$

Решим неравенство:

$28x - 16 \ge 0$

$28x \ge 16$

$x \ge \frac{16}{28}$

Сократим дробь на 4:

$x \ge \frac{4}{7}$

Ответ: при $x \in [\frac{4}{7}; +\infty)$.