Номер 38, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38. Постройте график уравнения:

1) $x + y - 3 = 0;$

2) $x - y - 3 = 0;$

3) $y - x + 3 = 0;$

4) $y - x - 3 = 0;$

5) $y + 2x^3 = 0;$

6) $y - \frac{3}{x} = 0;$

7) $y + \frac{0,3}{x} = 0.$

1) x + y - 3 = 0

Данное уравнение является линейным, так как переменные x и y входят в него в первой степени. Графиком линейного уравнения является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек.

Сначала выразим переменную y через x:

$y = -x + 3$

Это уравнение вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -1$, а смещение по оси OY $b = 3$.

Теперь найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой:

1. Возьмем $x = 0$. Тогда $y = -0 + 3 = 3$. Получаем точку с координатами $(0, 3)$. Эта точка является точкой пересечения графика с осью OY.

2. Возьмем $y = 0$. Тогда $0 = -x + 3$, откуда $x = 3$. Получаем точку с координатами $(3, 0)$. Эта точка является точкой пересечения графика с осью OX.

Отметив на координатной плоскости точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$ и соединив их прямой линией, мы получим график уравнения $x + y - 3 = 0$.

Ответ: Графиком уравнения является прямая линия, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

2) x - y - 3 = 0

Это также линейное уравнение, его график — прямая линия. Выразим y через x:

$-y = -x + 3$

$y = x - 3$

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k = 1$ и смещением $b = -3$.

Найдем две точки для построения графика:

1. При $x = 0$, $y = 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.

2. При $y = 0$, $0 = x - 3$, откуда $x = 3$. Получаем точку $(3, 0)$.

График — прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$.

Ответ: Графиком уравнения является прямая линия, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$.

3) y - x + 3 = 0

Это линейное уравнение. Выразим y через x:

$y = x - 3$

Данное уравнение полностью совпадает с уравнением из пункта 2). Следовательно, их графики также будут совпадать.

Координаты точек для построения: $(0, -3)$ и $(3, 0)$.

Ответ: Графиком уравнения является прямая линия, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$.

4) y - x - 3 = 0

Это линейное уравнение. Выразим y через x:

$y = x + 3$

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k = 1$ и смещением $b = 3$.

Найдем две точки:

1. При $x = 0$, $y = 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.

2. При $y = 0$, $0 = x + 3$, откуда $x = -3$. Получаем точку $(-3, 0)$.

График — прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(-3, 0)$.

Ответ: Графиком уравнения является прямая линия, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(-3, 0)$.

5) y + 2x³ = 0

Это нелинейное уравнение. Выразим y через x, чтобы определить тип функции:

$y = -2x^3$

Это кубическая функция. Ее график — кубическая парабола. Для построения графика найдем несколько точек, составив таблицу значений.

При $x = -2: y = -2(-2)^3 = -2(-8) = 16$. Точка $(-2, 16)$.

При $x = -1: y = -2(-1)^3 = -2(-1) = 2$. Точка $(-1, 2)$.

При $x = 0: y = -2(0)^3 = 0$. Точка $(0, 0)$.

При $x = 1: y = -2(1)^3 = -2(1) = -2$. Точка $(1, -2)$.

При $x = 2: y = -2(2)^3 = -2(8) = -16$. Точка $(2, -16)$.

График проходит через начало координат, симметричен относительно начала координат и расположен во второй и четвертой координатных четвертях. Соединив найденные точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: Графиком уравнения является кубическая парабола $y = -2x^3$, проходящая через начало координат и, например, через точки $(-1, 2)$ и $(1, -2)$.

6) y - 3/x = 0

Выразим y через x:

$y = \frac{3}{x}$

Это функция обратной пропорциональности. Ее график — гипербола. Область определения функции: $x \neq 0$. Это значит, что ось OY (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой графика. Ось OX (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой.

Так как коэффициент $k=3$ положителен ($3 > 0$), ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

Найдем несколько точек для построения каждой ветви:

Для первой четверти ($x>0$): при $x=1, y=3$; при $x=3, y=1$. Точки $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Для третьей четверти ($x<0$): при $x=-1, y=-3$; при $x=-3, y=-1$. Точки $(-1, -3)$ и $(-3, -1)$.

Построив эти точки и проведя через них две плавные кривые, приближающиеся к осям координат, получим график.

Ответ: Графиком уравнения является гипербола $y = 3/x$ с ветвями в I и III координатных четвертях, проходящая, например, через точки $(1, 3)$ и $(-1, -3)$.

7) y + 0,3/x = 0

Выразим y через x:

$y = -\frac{0,3}{x}$

Это также функция обратной пропорциональности, ее график — гипербола. Область определения: $x \neq 0$. Оси координат являются асимптотами графика.

Так как коэффициент $k=-0,3$ отрицателен ($-0,3 < 0$), ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

Найдем несколько точек:

Для второй четверти ($x<0$): при $x=-1, y=0,3$; при $x=-0,3, y=1$. Точки $(-1; 0,3)$ и $(-0,3; 1)$.

Для четвертой четверти ($x>0$): при $x=1, y=-0,3$; при $x=0,3, y=-1$. Точки $(1; -0,3)$ и $(0,3; -1)$.

Соединив точки плавными кривыми в соответствующих четвертях, получим график.

Ответ: Графиком уравнения является гипербола $y = -0,3/x$ с ветвями во II и IV координатных четвертях, проходящая, например, через точки $(1; -0,3)$ и $(-1; 0,3)$.