Номер 52, страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

52. Графики двух функций пересекаются в точках А и В (рис. 7). Найдите координаты точек А и В.

Рис. 7

Для того чтобы найти координаты точек пересечения A и B, можно определить их визуально по графику или найти уравнения обеих функций и решить систему уравнений. Для развернутого решения воспользуемся вторым подходом.

1. Определение уравнения прямой.

График линейной функции — это прямая, уравнение которой имеет вид $y = kx + b$. Из рисунка видно, что прямая проходит через точки с целочисленными координатами, например, через $(1, 0)$ и $(0, -1)$.

Коэффициент $b$ равен ординате точки пересечения графика с осью $y$, следовательно, $b = -1$.

Угловой коэффициент $k$ можно найти по формуле, используя две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Подставим координаты точек $(1, 0)$ и $(0, -1)$:

$k = \frac{0 - (-1)}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$.

Таким образом, уравнение прямой: $y = 1 \cdot x - 1$, или $y = x - 1$.

2. Определение уравнения гиперболы.

Второй график — это гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Уравнение такой функции имеет вид $y = \frac{a}{x}$.

Чтобы найти коэффициент $a$, подставим в уравнение координаты одной из точек пересечения, которые мы можем определить по графику. Например, точка А имеет примерные координаты $(3, 2)$. Проверим, подходит ли это для нахождения $a$.

Если точка А $(3, 2)$ лежит на гиперболе, то: $2 = \frac{a}{3}$, откуда $a = 2 \cdot 3 = 6$.

Проверим, лежит ли на этой же гиперболе $y = \frac{6}{x}$ точка В, которая по графику имеет координаты $(-2, -3)$:

$-3 = \frac{6}{-2}$, что является верным равенством.

Таким образом, уравнение гиперболы: $y = \frac{6}{x}$.

3. Нахождение координат точек пересечения.

Координаты точек пересечения являются решением системы уравнений:

$\begin{cases} y = x - 1 \\ y = \frac{6}{x} \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$x - 1 = \frac{6}{x}$

Поскольку $x \neq 0$ (это следует из области определения функции $y=\frac{6}{x}$), мы можем умножить обе части уравнения на $x$:

$x(x - 1) = 6$

$x^2 - x = 6$

$x^2 - x - 6 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и -2.

$x_1 = 3$

$x_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в уравнение прямой $y = x - 1$:

Для $x_1 = 3$: $y_1 = 3 - 1 = 2$. Координаты первой точки пересечения (точка А) — $(3, 2)$.

Для $x_2 = -2$: $y_2 = -2 - 1 = -3$. Координаты второй точки пересечения (точка В) — $(-2, -3)$.

Найденные координаты полностью совпадают с координатами точек на графике.

Ответ: A(3, 2); B(-2, -3).