Номер 14, страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14. Для каких значений переменной у является тождеством равенство:

1) $ (5a - y)^2 = 25a^2 - 2ay + y^2; $

2) $ (0,5a + y)^2 = 0,25a^2 + 6ab + 36b^2; $

3) $ (y - 5c)^2 = 0,64a^2 - 8ac + 25c^2; $

4) $ (1,4a + y)^2 = 1,96a^2 + 16,8ab + 36b^2 $?

Чтобы найти значение переменной y, при котором каждое равенство является тождеством, мы раскроем скобки в левой части по формулам сокращенного умножения и сравним полученное выражение с правой частью.

1) $(5a - y)^2 = 25a^2 - 2ac + 0,04c^2$

Раскроем левую часть по формуле квадрата разности $(x - z)^2 = x^2 - 2xz + z^2$.

$(5a - y)^2 = (5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot y + y^2 = 25a^2 - 10ay + y^2$.

Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства:

$25a^2 - 10ay + y^2 = 25a^2 - 2ac + 0,04c^2$.

Для того чтобы это равенство было тождеством, соответствующие слагаемые должны быть равны.

Сравниваем слагаемые:

1. Слагаемое с квадратом $a$ совпадает: $25a^2 = 25a^2$.

2. Слагаемое с произведением переменных: $-10ay = -2ac$.

3. Слагаемое с квадратом второй переменной: $y^2 = 0,04c^2$.

Из второго уравнения, разделив обе части на $-2a$ (при $a \neq 0$), получаем: $5y = c$, откуда $y = \frac{c}{5} = 0,2c$.

Из третьего уравнения: $y^2 = (0,2c)^2$, что дает два возможных решения: $y = 0,2c$ или $y = -0,2c$.

Только значение $y = 0,2c$ удовлетворяет обоим условиям. Подставим его в удвоенное произведение: $-10a \cdot (0,2c) = -2ac$, что совпадает со средним членом в правой части. Следовательно, это верное значение.

Ответ: $y = 0,2c$.

2) $(0,5a + y)^2 = 0,25a^2 + 6ab + 36b^2$

Раскроем левую часть по формуле квадрата суммы $(x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2$.

$(0,5a + y)^2 = (0,5a)^2 + 2 \cdot 0,5a \cdot y + y^2 = 0,25a^2 + ay + y^2$.

Приравняем полученное выражение к правой части:

$0,25a^2 + ay + y^2 = 0,25a^2 + 6ab + 36b^2$.

Сравниваем соответствующие слагаемые:

1. Слагаемое с $a^2$: $0,25a^2 = 0,25a^2$.

2. Слагаемое с произведением переменных: $ay = 6ab$.

3. Слагаемое с квадратом второй переменной: $y^2 = 36b^2$.

Из второго уравнения, разделив на $a$ (при $a \neq 0$), получаем: $y = 6b$.

Из третьего уравнения получаем: $y = \sqrt{36b^2}$, что дает два решения $y = 6b$ или $y = -6b$.

Общим решением, удовлетворяющим обоим условиям, является $y = 6b$. Знак в удвоенном произведении положительный, что соответствует знаку в левой части.

Ответ: $y = 6b$.

3) $(y - 5c)^2 = 0,64a^2 - 8ac + 25c^2$

Раскроем левую часть по формуле квадрата разности $(x - z)^2 = x^2 - 2xz + z^2$.

$(y - 5c)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 5c + (5c)^2 = y^2 - 10yc + 25c^2$.

Приравняем к правой части:

$y^2 - 10yc + 25c^2 = 0,64a^2 - 8ac + 25c^2$.

Сравниваем соответствующие слагаемые:

1. Слагаемое с $c^2$: $25c^2 = 25c^2$.

2. Квадрат первого члена: $y^2 = 0,64a^2$.

3. Удвоенное произведение: $-10yc = -8ac$.

Из второго уравнения: $y = \sqrt{0,64a^2}$, что дает $y = 0,8a$ или $y = -0,8a$.

Из третьего уравнения, разделив на $-2c$ (при $c \neq 0$): $5y = 4a$, откуда $y = \frac{4}{5}a = 0,8a$.

Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям, это $y = 0,8a$. Знак в удвоенном произведении отрицательный, что соответствует знаку в левой части.

Ответ: $y = 0,8a$.

4) $(1,4a + y)^2 = 1,96a^2 + 16,8ab + 36b^2$

Раскроем левую часть по формуле квадрата суммы $(x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2$.

$(1,4a + y)^2 = (1,4a)^2 + 2 \cdot 1,4a \cdot y + y^2 = 1,96a^2 + 2,8ay + y^2$.

Приравняем к правой части:

$1,96a^2 + 2,8ay + y^2 = 1,96a^2 + 16,8ab + 36b^2$.

Сравниваем соответствующие слагаемые:

1. Слагаемое с $a^2$: $1,96a^2 = 1,96a^2$.

2. Удвоенное произведение: $2,8ay = 16,8ab$.

3. Квадрат второго члена: $y^2 = 36b^2$.

Из второго уравнения, разделив на $2,8a$ (при $a \neq 0$): $y = \frac{16,8b}{2,8} = \frac{168b}{28} = 6b$.

Из третьего уравнения: $y = \sqrt{36b^2}$, что дает $y = 6b$ или $y = -6b$.

Общим решением, удовлетворяющим обоим условиям, является $y = 6b$. Знак в удвоенном произведении положительный, что соответствует знаку в левой части.

Ответ: $y = 6b$.