Номер 10, страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10. Используя свойства степеней, сравните значения выражений:

1) $40^{20}$ и $20^{40}$;

2) $25^{5}$ и $125^{8}$;

3) $16^{5}$ и $64^{3}$;

4) $72^{10}$ и $32 \cdot 12^{10}$.

1) $40^{20}$ и $20^{40}$

Чтобы сравнить значения выражений, приведем их к общему показателю степени. Заметим, что $40 = 2 \cdot 20$.

Представим второе выражение $20^{40}$ в виде степени с показателем 20, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$20^{40} = 20^{2 \cdot 20} = (20^2)^{20} = 400^{20}$.

Теперь задача сводится к сравнению двух степеней с одинаковыми показателями: $40^{20}$ и $400^{20}$.

Поскольку показатели степеней равны, для сравнения достаточно сравнить их основания. Так как $40 < 400$, то и соответствующая степень с положительным показателем будет меньше.

Следовательно, $40^{20} < 400^{20}$, а значит $40^{20} < 20^{40}$.

Ответ: $40^{20} < 20^{40}$.

2) $25^5$ и $125^8$

Для сравнения этих выражений приведем их к общему основанию. Основания 25 и 125 являются степенями числа 5:

$25 = 5^2$

$125 = 5^3$

Теперь преобразуем оба выражения, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$25^5 = (5^2)^5 = 5^{2 \cdot 5} = 5^{10}$.

$125^8 = (5^3)^8 = 5^{3 \cdot 8} = 5^{24}$.

Теперь сравним $5^{10}$ и $5^{24}$.

Так как основание степени (5) больше 1, то чем больше показатель степени, тем больше значение выражения. Поскольку $10 < 24$, то $5^{10} < 5^{24}$.

Следовательно, $25^5 < 125^8$.

Ответ: $25^5 < 125^8$.

3) $16^5$ и $64^3$

Чтобы сравнить значения, приведем степени к общему основанию. Основания 16 и 64 являются степенями числа 2 (или 4):

$16 = 2^4$

$64 = 2^6$

Преобразуем оба выражения к основанию 2, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$16^5 = (2^4)^5 = 2^{4 \cdot 5} = 2^{20}$.

$64^3 = (2^6)^3 = 2^{6 \cdot 3} = 2^{18}$.

Теперь сравним $2^{20}$ и $2^{18}$.

Так как основание степени (2) больше 1, то больше та степень, у которой показатель больше. Поскольку $20 > 18$, то $2^{20} > 2^{18}$.

Следовательно, $16^5 > 64^3$.

Ответ: $16^5 > 64^3$.

4) $72^{10}$ и $32 \cdot 12^{10}$

Для сравнения преобразуем левую часть, используя свойство степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Представим основание 72 в виде произведения $6 \cdot 12$:

$72^{10} = (6 \cdot 12)^{10} = 6^{10} \cdot 12^{10}$.

Теперь сравним два выражения: $6^{10} \cdot 12^{10}$ и $32 \cdot 12^{10}$.

Поскольку $12^{10}$ является общим положительным множителем, для сравнения исходных выражений достаточно сравнить оставшиеся множители: $6^{10}$ и $32$.

Вычислим начальные степени числа 6:

$6^1 = 6$

$6^2 = 36$

Уже на втором шаге видно, что $6^2 > 32$. Так как функция $y=6^x$ является возрастающей, то при большем показателе степени значение будет еще больше, то есть $6^{10} > 6^2 > 32$.

Поскольку $6^{10} > 32$, то и $6^{10} \cdot 12^{10} > 32 \cdot 12^{10}$.

Следовательно, $72^{10} > 32 \cdot 12^{10}$.

Ответ: $72^{10} > 32 \cdot 12^{10}$.