Номер 4, страница 257 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4. 1) $\frac{8^{13} \cdot (11^3)^5}{121^7 \cdot 4^{19}};$

2) $\frac{81^{10} \cdot 169^5}{(13^3)^3 \cdot 27^{13}};$

3) $\frac{49^{25} \cdot 625^{15}}{(5^{12})^5 \cdot (7^{16})^3};$

4) $\frac{216^8 \cdot 125^7}{625^5 \cdot (6^5)^4};$

5) $\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 32^2 \cdot 1000 \cdot 5^3}{4^7 \cdot 0,001 \cdot 25^4};$

6) $\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot 9^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot 2^6}{\left(\frac{1}{11}\right)^2 \cdot 363 - \left(\frac{1}{12}\right)^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4}.$

1) Чтобы решить это выражение, приведем все основания к простым числам и воспользуемся свойствами степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Исходное выражение: $\frac{8^{13} \cdot (11^3)^5}{121^7 \cdot 4^{19}}$.

Представим числа 8, 121 и 4 в виде степеней простых чисел:

$8 = 2^3$

$121 = 11^2$

$4 = 2^2$

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{(2^3)^{13} \cdot (11^3)^5}{(11^2)^7 \cdot (2^2)^{19}}$

Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{2^{3 \cdot 13} \cdot 11^{3 \cdot 5}}{11^{2 \cdot 7} \cdot 2^{2 \cdot 19}} = \frac{2^{39} \cdot 11^{15}}{11^{14} \cdot 2^{38}}$

Теперь применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для оснований 2 и 11:

$2^{39-38} \cdot 11^{15-14} = 2^1 \cdot 11^1 = 2 \cdot 11 = 22$.

Ответ: 22

2) Приведем все основания в выражении $\frac{81^{10} \cdot 169^5}{(13^3)^3 \cdot 27^{13}}$ к простым числам.

$81 = 3^4$

$169 = 13^2$

$27 = 3^3$

Подставляем и упрощаем, используя свойства степеней:

$\frac{(3^4)^{10} \cdot (13^2)^5}{(13^3)^3 \cdot (3^3)^{13}} = \frac{3^{4 \cdot 10} \cdot 13^{2 \cdot 5}}{13^{3 \cdot 3} \cdot 3^{3 \cdot 13}} = \frac{3^{40} \cdot 13^{10}}{13^9 \cdot 3^{39}}$

Выполняем вычитание показателей степеней при делении:

$3^{40-39} \cdot 13^{10-9} = 3^1 \cdot 13^1 = 3 \cdot 13 = 39$.

Ответ: 39

3) Упростим выражение $\frac{49^{25} \cdot 625^{15}}{(5^{12})^5 \cdot (7^{16})^3}$, приведя основания к простым числам.

$49 = 7^2$

$625 = 5^4$

Подставляем в исходное выражение:

$\frac{(7^2)^{25} \cdot (5^4)^{15}}{(5^{12})^5 \cdot (7^{16})^3} = \frac{7^{2 \cdot 25} \cdot 5^{4 \cdot 15}}{5^{12 \cdot 5} \cdot 7^{16 \cdot 3}} = \frac{7^{50} \cdot 5^{60}}{5^{60} \cdot 7^{48}}$

Сокращаем степени с одинаковыми основаниями:

$7^{50-48} \cdot 5^{60-60} = 7^2 \cdot 5^0 = 49 \cdot 1 = 49$.

Ответ: 49

4) Рассмотрим выражение $\frac{216^8 \cdot 125^7}{625^5 \cdot (6^5)^4}$. Приведем числа к степеням с простыми основаниями.

$216 = 6^3 = (2 \cdot 3)^3$

$125 = 5^3$

$625 = 5^4$

Для удобства оставим основание 6, так как оно есть и в числителе, и в знаменателе.

$\frac{(6^3)^8 \cdot (5^3)^7}{(5^4)^5 \cdot (6^5)^4} = \frac{6^{3 \cdot 8} \cdot 5^{3 \cdot 7}}{5^{4 \cdot 5} \cdot 6^{5 \cdot 4}} = \frac{6^{24} \cdot 5^{21}}{5^{20} \cdot 6^{20}}$

Упрощаем, вычитая показатели степеней:

$6^{24-20} \cdot 5^{21-20} = 6^4 \cdot 5^1 = 1296 \cdot 5 = 6480$.

Ответ: 6480

5) Рассмотрим выражение $\frac{(\frac{1}{2})^2 \cdot 32^2 \cdot 1000 \cdot 5^3}{4^7 \cdot 0.001 \cdot 25^4}$.

Представим все числа в виде степеней простых чисел 2 и 5 (используя $10 = 2 \cdot 5$):

Числитель: $(\frac{1}{2})^2 = 2^{-2}$; $32^2 = (2^5)^2 = 2^{10}$; $1000 = 10^3 = (2\cdot5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$.

Знаменатель: $4^7 = (2^2)^7 = 2^{14}$; $0.001 = 10^{-3} = (2\cdot5)^{-3} = 2^{-3} \cdot 5^{-3}$; $25^4 = (5^2)^4 = 5^8$.

Подставим в дробь:

$\frac{2^{-2} \cdot 2^{10} \cdot (2^3 \cdot 5^3) \cdot 5^3}{2^{14} \cdot (2^{-3} \cdot 5^{-3}) \cdot 5^8}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, суммируя показатели при умножении:

$\frac{2^{-2+10+3} \cdot 5^{3+3}}{2^{14-3} \cdot 5^{-3+8}} = \frac{2^{11} \cdot 5^6}{2^{11} \cdot 5^5}$

Выполним деление, вычитая показатели степеней:

$2^{11-11} \cdot 5^{6-5} = 2^0 \cdot 5^1 = 1 \cdot 5 = 5$.

Ответ: 5

6) Рассмотрим выражение $\frac{(\frac{1}{3})^4 \cdot 9^2 + (\frac{1}{4})^3 \cdot 2^6}{(\frac{1}{11})^2 \cdot 363 - (\frac{1}{12})^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4}$.

Вычислим числитель и знаменатель по частям.

Числитель:

Первое слагаемое: $(\frac{1}{3})^4 \cdot 9^2 = 3^{-4} \cdot (3^2)^2 = 3^{-4} \cdot 3^4 = 3^{-4+4} = 3^0 = 1$.

Второе слагаемое: $(\frac{1}{4})^3 \cdot 2^6 = (2^{-2})^3 \cdot 2^6 = 2^{-6} \cdot 2^6 = 2^{-6+6} = 2^0 = 1$.

Сумма в числителе: $1 + 1 = 2$.

Знаменатель:

Первый член (уменьшаемое): $(\frac{1}{11})^2 \cdot 363 = \frac{1}{121} \cdot 363 = \frac{363}{121} = 3$.

Второй член (вычитаемое): $(\frac{1}{12})^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4 = \frac{1}{144} \cdot 9 \cdot 16 = \frac{144}{144} = 1$.

(Другой способ для второго члена: $(\frac{1}{12})^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4 = \frac{1}{(3 \cdot 2^2)^2} \cdot 3^2 \cdot 2^4 = \frac{1}{3^2 \cdot (2^2)^2} \cdot 3^2 \cdot 2^4 = \frac{1}{3^2 \cdot 2^4} \cdot 3^2 \cdot 2^4 = 1$)

Разность в знаменателе: $3 - 1 = 2$.

Итоговая дробь: $\frac{\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1