Номер 6, страница 257 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6. Выполните действия:

1) $243 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6 - 8,75 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 \cdot 0,25 + 0,12;$

2) $\left(\frac{6}{7}\right)^2 \cdot 2,45 - \left(34 - 3\frac{5}{14}\right) + 0,05 \cdot 2^8;$

3) $6,25 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^5 - 0,024 \cdot 9^3 + 1,552;$

4) $\left(\frac{8}{11}\right)^2 \cdot 0,5 \cdot \left(3\frac{2}{3}\right)^3 + \left(1\frac{1}{3}\right)^4 : 85\frac{1}{3}.$

1) Выполним вычисления по действиям: $243 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6 - 8,75 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 \cdot 0,25 + 0,12$.

1. Сначала вычислим $243 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6$. Заметим, что $243 = 3^5$.

$243 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6 = 3^5 \cdot \frac{2^6}{3^6} = \frac{3^5 \cdot 2^6}{3^6} = \frac{2^6}{3} = \frac{64}{3}$.

2. Теперь вычислим $8,75 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 \cdot 0,25$. Переведем десятичные дроби в обыкновенные: $8,75 = 8\frac{75}{100} = 8\frac{3}{4} = \frac{35}{4}$ и $0,25 = \frac{1}{4}$.

$\frac{35}{4} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{35}{4} \cdot \frac{4^3}{5^3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{35 \cdot 4^3}{4 \cdot 5^3 \cdot 4} = \frac{35 \cdot 4^2}{4 \cdot 5^3} = \frac{35 \cdot 4}{5^3} = \frac{7 \cdot 5 \cdot 4}{5 \cdot 25} = \frac{28}{25}$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение. Переведем $0,12$ в обыкновенную дробь: $0,12 = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}$.

$\frac{64}{3} - \frac{28}{25} + \frac{3}{25} = \frac{64}{3} - \left(\frac{28}{25} - \frac{3}{25}\right) = \frac{64}{3} - \frac{25}{25} = \frac{64}{3} - 1 = \frac{64}{3} - \frac{3}{3} = \frac{61}{3}$.

Выделим целую часть: $\frac{61}{3} = 20\frac{1}{3}$.

Ответ: $20\frac{1}{3}$.

2) Выполним вычисления по действиям: $\left(\frac{6}{7}\right)^2 \cdot 2,45 - \left(34 - 3\frac{5}{14}\right) + 0,05 \cdot 2^8$.

1. $\left(\frac{6}{7}\right)^2 \cdot 2,45$. Переведем $2,45$ в обыкновенную дробь: $2,45 = 2\frac{45}{100} = 2\frac{9}{20} = \frac{49}{20}$.

$\left(\frac{6}{7}\right)^2 \cdot \frac{49}{20} = \frac{36}{49} \cdot \frac{49}{20} = \frac{36}{20} = \frac{9}{5} = 1,8$.

2. $34 - 3\frac{5}{14} = 33\frac{14}{14} - 3\frac{5}{14} = 30\frac{9}{14}$.

3. $0,05 \cdot 2^8$. Переведем $0,05$ в обыкновенную дробь: $0,05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$. $2^8 = 256$.

$\frac{1}{20} \cdot 256 = \frac{256}{20} = \frac{64}{5} = 12,8$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение.

$1,8 - 30\frac{9}{14} + 12,8 = (1,8 + 12,8) - 30\frac{9}{14} = 14,6 - 30\frac{9}{14}$.

Переведем $14,6$ в обыкновенную дробь: $14,6 = 14\frac{6}{10} = 14\frac{3}{5}$.

$14\frac{3}{5} - 30\frac{9}{14} = \frac{73}{5} - \frac{429}{14}$. Приведем к общему знаменателю 70:

$\frac{73 \cdot 14}{70} - \frac{429 \cdot 5}{70} = \frac{1022 - 2145}{70} = \frac{-1123}{70} = -16\frac{3}{70}$.

Ответ: $-16\frac{3}{70}$.

3) Выполним вычисления по действиям: $6,25 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^5 - 0,024 \cdot 9^3 + 1,552$.

1. $6,25 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^5$. Переведем $\frac{4}{5}$ в десятичную дробь: $\frac{4}{5} = 0,8$.

$0,8^5 = 0,32768$.

$6,25 \cdot 0,32768 = 2,048$.

2. $0,024 \cdot 9^3$. $9^3 = 729$.

$0,024 \cdot 729 = 17,496$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение.

$2,048 - 17,496 + 1,552 = (2,048 + 1,552) - 17,496 = 3,6 - 17,496 = -13,896$.

Ответ: $-13,896$.

4) Выполним вычисления по действиям: $\left(\frac{8}{11}\right)^2 \cdot 0,5 \cdot \left(3\frac{2}{3}\right)^3 + \left(1\frac{1}{3}\right)^4 : 85\frac{1}{3}$.

Выражение состоит из двух слагаемых. Вычислим каждое из них.

1. Первое слагаемое: $\left(\frac{8}{11}\right)^2 \cdot 0,5 \cdot \left(3\frac{2}{3}\right)^3$. Переведем все в обыкновенные дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$ и $3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$.

$\left(\frac{8}{11}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{11}{3}\right)^3 = \frac{8^2}{11^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{11^3}{3^3} = \frac{64}{121} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1331}{27}$.

Сократим степени $11$ и числа: $\frac{32}{11^2} \cdot \frac{11^3}{27} = \frac{32 \cdot 11}{27} = \frac{352}{27}$.

2. Второе слагаемое: $\left(1\frac{1}{3}\right)^4 : 85\frac{1}{3}$. Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ и $85\frac{1}{3} = \frac{256}{3}$.

$\left(\frac{4}{3}\right)^4 : \frac{256}{3} = \frac{4^4}{3^4} : \frac{256}{3} = \frac{256}{81} : \frac{256}{3}$.

Заменим деление умножением на обратную дробь: $\frac{256}{81} \cdot \frac{3}{256} = \frac{3}{81} = \frac{1}{27}$.

3. Сложим результаты.

$\frac{352}{27} + \frac{1}{27} = \frac{353}{27}$.

Выделим целую часть: $353 : 27 = 13$ (остаток 2). Таким образом, $\frac{353}{27} = 13\frac{2}{27}$.

Ответ: $13\frac{2}{27}$.