Номер 2, страница 257 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. 1)$ \frac{4^8 \cdot 12^7 \cdot 9^3}{6^{12} \cdot 16^4} $;

2) $ \frac{21^8 \cdot 27^5 \cdot 49^6}{9^{11} \cdot 343^7} $;

3) $ \frac{25^{11} \cdot 81^4}{625^4 \cdot 15^5 \cdot 9^6} $;

4) $ \frac{32^9 \cdot 125^8}{8^{13} \cdot 10^7 \cdot 25^8} $;

1) Чтобы упростить выражение, представим каждое число в виде произведения простых множителей и воспользуемся свойствами степеней.

$4 = 2^2$; $12 = 2^2 \cdot 3$; $9 = 3^2$; $6 = 2 \cdot 3$; $16 = 2^4$.

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$\frac{4^8 \cdot 12^7 \cdot 9^3}{6^{12} \cdot 16^4} = \frac{(2^2)^8 \cdot (2^2 \cdot 3)^7 \cdot (3^2)^3}{(2 \cdot 3)^{12} \cdot (2^4)^4}$

Теперь применим свойства $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$\frac{2^{16} \cdot (2^2)^7 \cdot 3^7 \cdot 3^6}{2^{12} \cdot 3^{12} \cdot 2^{16}} = \frac{2^{16} \cdot 2^{14} \cdot 3^7 \cdot 3^6}{2^{12} \cdot 3^{12} \cdot 2^{16}}$

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя и знаменателя:

$\frac{2^{16+14} \cdot 3^{7+6}}{2^{12+16} \cdot 3^{12}} = \frac{2^{30} \cdot 3^{13}}{2^{28} \cdot 3^{12}}$

Используем свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для сокращения дроби:

$2^{30-28} \cdot 3^{13-12} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$

Ответ: 12

2) Разложим числа на простые множители:

$21 = 3 \cdot 7$; $27 = 3^3$; $49 = 7^2$; $9 = 3^2$; $343 = 7^3$.

Подставим в выражение:

$\frac{21^8 \cdot 27^5 \cdot 49^6}{9^{11} \cdot 343^7} = \frac{(3 \cdot 7)^8 \cdot (3^3)^5 \cdot (7^2)^6}{(3^2)^{11} \cdot (7^3)^7}$

Применим свойства степеней:

$\frac{3^8 \cdot 7^8 \cdot 3^{15} \cdot 7^{12}}{3^{22} \cdot 7^{21}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе:

$\frac{3^{8+15} \cdot 7^{8+12}}{3^{22} \cdot 7^{21}} = \frac{3^{23} \cdot 7^{20}}{3^{22} \cdot 7^{21}}$

Сократим дробь:

$3^{23-22} \cdot 7^{20-21} = 3^1 \cdot 7^{-1} = \frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{3}{7}$

3) Представим основания степеней в виде простых чисел:

$25 = 5^2$; $81 = 3^4$; $625 = 5^4$; $15 = 3 \cdot 5$; $9 = 3^2$.

Подставляем в выражение:

$\frac{25^{11} \cdot 81^4}{625^4 \cdot 15^5 \cdot 9^6} = \frac{(5^2)^{11} \cdot (3^4)^4}{(5^4)^4 \cdot (3 \cdot 5)^5 \cdot (3^2)^6}$

Раскрываем скобки, используя свойства степеней:

$\frac{5^{22} \cdot 3^{16}}{5^{16} \cdot 3^5 \cdot 5^5 \cdot 3^{12}}$

Сгруппируем степени в знаменателе:

$\frac{5^{22} \cdot 3^{16}}{5^{16+5} \cdot 3^{5+12}} = \frac{5^{22} \cdot 3^{16}}{5^{21} \cdot 3^{17}}$

Выполним деление степеней:

$5^{22-21} \cdot 3^{16-17} = 5^1 \cdot 3^{-1} = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$

4) Разложим все числа в выражении на простые множители:

$32 = 2^5$; $125 = 5^3$; $8 = 2^3$; $10 = 2 \cdot 5$; $25 = 5^2$.

Подставляем в выражение:

$\frac{32^9 \cdot 125^8}{8^{13} \cdot 10^7 \cdot 25^8} = \frac{(2^5)^9 \cdot (5^3)^8}{(2^3)^{13} \cdot (2 \cdot 5)^7 \cdot (5^2)^8}$

Применим свойства степеней для раскрытия скобок:

$\frac{2^{45} \cdot 5^{24}}{2^{39} \cdot 2^7 \cdot 5^7 \cdot 5^{16}}$

Сложим показатели степеней с одинаковыми основаниями в знаменателе:

$\frac{2^{45} \cdot 5^{24}}{2^{39+7} \cdot 5^{7+16}} = \frac{2^{45} \cdot 5^{24}}{2^{46} \cdot 5^{23}}$

Вычтем показатели степеней при делении:

$2^{45-46} \cdot 5^{24-23} = 2^{-1} \cdot 5^1 = \frac{5}{2}$

Ответ: $\frac{5}{2}$