Номер 16, страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16. Из пропорции $\frac{a^3 - 25a}{2a + 10} = \frac{3a^2 - 15a}{x}$ найдите значение $\text{x}$:

A. $\frac{1}{6}$;

B. 1;

C. 6;

D. -6.

Для нахождения x из пропорции $\frac{a^3 - 25a}{2a + 10} = \frac{3a^2 - 15a}{x}$ воспользуемся основным свойством пропорции (правилом креста): произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$(a^3 - 25a) \cdot x = (2a + 10) \cdot (3a^2 - 15a)$

Выразим x из этого уравнения, предполагая, что $a^3 - 25a \neq 0$:

$x = \frac{(2a + 10)(3a^2 - 15a)}{a^3 - 25a}$

Для упрощения полученного выражения разложим числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим на множители числитель.

Вынесем общие множители за скобки в каждом из выражений:

$2a + 10 = 2(a + 5)$

$3a^2 - 15a = 3a(a - 5)$

Таким образом, числитель равен произведению: $2(a + 5) \cdot 3a(a - 5)$.

2. Разложим на множители знаменатель.

Вынесем общий множитель a за скобки:

$a^3 - 25a = a(a^2 - 25)$

Выражение $a^2 - 25$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$:

$a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)$

Следовательно, знаменатель равен: $a(a - 5)(a + 5)$.

Подставим разложенные на множители выражения обратно в формулу для x:

$x = \frac{2(a + 5) \cdot 3a(a - 5)}{a(a - 5)(a + 5)}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $a$, $(a - 5)$ и $(a + 5)$. Сокращение возможно при условии, что эти множители не равны нулю, то есть $a \neq 0$, $a \neq 5$, $a \neq -5$.

$x = \frac{2 \cdot \cancel{(a + 5)} \cdot 3 \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{(a - 5)}}{\cancel{a} \cdot \cancel{(a - 5)} \cdot \cancel{(a + 5)}} = 2 \cdot 3 = 6$

Таким образом, значение x равно 6.

Ответ: 6