Номер 13, страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13. Сократите дробь $\frac{9x^2 + 24xy + 16y^2}{9x^2 - 16y^2}$:

A. $\frac{4y + 3x}{4y - 3x}$;

B. $\frac{3x - 4y}{4y + 3x}$;

C. $\frac{4y + 3x}{3x - 4y}$;

D. $\frac{1}{3x + 4y}$.

13. Для того чтобы сократить дробь $\frac{9x^2 + 24xy + 16y^2}{9x^2 - 16y^2}$, необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители с помощью формул сокращенного умножения.

Числитель $9x^2 + 24xy + 16y^2$ является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. Здесь $a = 3x$ и $b = 4y$, а удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 4y = 24xy$. Таким образом, числитель равен $(3x + 4y)^2$.

Знаменатель $9x^2 - 16y^2$ является разностью квадратов, которая раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Здесь также $a = 3x$ и $b = 4y$. Таким образом, знаменатель равен $(3x - 4y)(3x + 4y)$.

Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь:

$\frac{9x^2 + 24xy + 16y^2}{9x^2 - 16y^2} = \frac{(3x + 4y)^2}{(3x - 4y)(3x + 4y)}$

Далее сократим дробь на общий множитель $(3x + 4y)$:

$\frac{(3x + 4y)(3x + 4y)}{(3x - 4y)(3x + 4y)} = \frac{3x + 4y}{3x - 4y}$

Используя коммутативность сложения, числитель можно записать как $4y + 3x$. Итоговая дробь: $\frac{4y + 3x}{3x - 4y}$.

Ответ: C. $\frac{4y + 3x}{3x - 4y}$