Номер 7, страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7. Чему равен общий знаменатель дробей $ \frac{6}{3a - a^2} $; $ \frac{a+1}{a^2 - 9} $; $ \frac{4}{a^2} $?

A. $ a^2 - 9 $;

B. $ a(a^2 - 9) $;

C. $ a(9 - a^2) $;

D. $ a^2(9 - a^2) $.

Чтобы найти общий знаменатель для заданных дробей $ \frac{6}{3a - a^2} $, $ \frac{a+1}{a^2 - 9} $ и $ \frac{4}{a^2} $, необходимо найти их наименьший общий знаменатель, который является наименьшим общим кратным (НОК) знаменателей этих дробей.

1. Разложим каждый знаменатель на множители.

- Первый знаменатель: $ 3a - a^2 $. Вынесем общий множитель $ a $ за скобки:

$ 3a - a^2 = a(3 - a) $.

- Второй знаменатель: $ a^2 - 9 $. Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $:

$ a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3) $.

- Третий знаменатель: $ a^2 $. Он уже представлен в виде множителя.

2. Теперь составим наименьший общий знаменатель. Для этого нужно взять каждый уникальный множитель из всех разложений в наибольшей степени, в которой он встречается.

Множители: $ a $, $ (3 - a) $, $ (a - 3) $, $ (a + 3) $ и $ a^2 $.

Заметим, что $ (3 - a) = -(a - 3) $. Для составления общего знаменателя мы можем использовать любой из этих двух видов.

- Множитель $ a $: встречается в степенях $ a^1 $ и $ a^2 $. Выбираем наибольшую степень: $ a^2 $.

- Множитель, связанный с разностью $ a $ и $ 3 $: у нас есть $ (3-a) $ и $ (a-3) $. Они оба должны входить в общий знаменатель. Если мы возьмем $ (3-a) $, то он покроет и $ (a-3) $ (с точностью до знака).

- Множитель $ (a+3) $: встречается в первой степени.

Итак, объединяем все необходимые множители: $ a^2 $, $ (3 - a) $ и $ (a + 3) $.

Перемножим их, чтобы получить общий знаменатель:

Общий знаменатель = $ a^2 \cdot (3 - a) \cdot (a + 3) $.

Упростим произведение скобок: $ (3 - a)(a + 3) = (3 - a)(3 + a) $. Это снова формула разности квадратов: $ 3^2 - a^2 = 9 - a^2 $.

Таким образом, общий знаменатель равен $ a^2(9 - a^2) $.

Этот результат соответствует варианту D.

Ответ: D. $ a^2(9 - a^2) $.