Номер 11, страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11. Упростите выражение $(1 - \frac{3}{a}) \cdot \frac{a}{a^2 - 9}:$

A. $\frac{1}{a + 3};$

B. $a + 3;$

C. $\frac{a^2}{a + 3};$

D. $1.$

Для того чтобы упростить данное выражение, выполним действия по шагам.

1. Упростим выражение в скобках.

Приведем единицу и дробь к общему знаменателю a:

$1 - \frac{3}{a} = \frac{1 \cdot a}{a} - \frac{3}{a} = \frac{a - 3}{a}$

2. Подставим полученный результат в исходное выражение.

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{a - 3}{a} \cdot \frac{a}{a^2 - 9}$

3. Разложим знаменатель второй дроби на множители.

Выражение $a^2 - 9$ является разностью квадратов и раскладывается по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3)$

4. Выполним умножение и сократим дробь.

Подставим разложенный знаменатель в наше выражение и выполним умножение дробей:

$\frac{a - 3}{a} \cdot \frac{a}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{(a - 3) \cdot a}{a \cdot (a - 3)(a + 3)}$

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Сокращаем a (при $a \neq 0$) и $(a - 3)$ (при $a \neq 3$):

$\frac{\cancel{(a - 3)} \cdot \cancel{a}}{\cancel{a} \cdot \cancel{(a - 3)} \cdot (a + 3)} = \frac{1}{a + 3}$

Результатом упрощения является дробь $\frac{1}{a + 3}$, что соответствует варианту A.

Ответ: $\frac{1}{a + 3}$